[Q]
제가 알고 싶은 내용은 집중질량에 관해서 입니다.
보통 수직으로 세워진 타워(높이에 따라 질량이 일정)의 경우 한개의 집중질량으로 나타내려면 보통 전체질량의 1/3로 알고 있습니다.
그리고 shape function을 사용하면 전체질량의 약 0.2로 알고있습니다.
왜 이런 차이가 있는지 궁금합니다.
또한 한개의 집중질량이 아니라 2~3개 이상의 집중질량으로 모델링할땐 어떻게 해야하는지 궁금합니다.
마지막으로 높이에 따라 질량이 변하는 타워의 경우는 어떻게 계산해야 2~3개이상의 집중질량을 구성할 수 있는지 궁금합니다.



[A]
질의에 감사 드립니다.
부족하지만 뭔가를 나눌 수 있다는 것이 더욱 감사합니다.

등분포 질량을 가정한 외팔보의 경우, 끝 단에서의 등가질량은 전체질량의 23.6% (대략 1/4) 입니다.
http://php.chol.com/~kim2kie/3_ach/data_dyn/Prob01.pdf 연습문제: 1-3.5절 참조
이 경우의 가정은 끝 단에 하중을 가한 것처럼 변형이 발생한다고 가정했을 경우입니다.

그러나 변형형상을 삼각함수를 써서 나타낸다면,
끝 단에서의 등가질량은 전체질량의 22.6%입니다.
http://php.chol.com/~kim2kie/3_ach/data_dyn/PE_A85.pdf 2008년 건축구조 기술사 문제

실제 이론해에서 구한 형상함수(삼각함수 + cosh, sinh)를 사용할 경우에도 23%정도의 값이 나올 것 같습니다.
일단 고유진동수와 진동모드에 관한 이론해는
구조동역학(김두기, 3-3.3절 분포질량을 갖는 보의 이론해) 또는 다른 관련 서적들에 나와 있습니다.

여러 개의 질량으로 모델링하는 방법은
공학적인 경험이 있는 경우, 앞 서 설명한 것과 같이 경계조건에 따라 1/4 또는 1/2의 집중질량을 배분할 수 있습니다.
그렇지 못할 경우, FEM에서 제시하는 기계적인 방법을 사용하여 일관질량(또는 집중질량)을 구할 수 있습니다.
두 경우 모두 장단점을 갖고 있기에, 경우에 따라 적절한 방법을 선택할 수 있습니다.




[Q2]
다시 한번 질문 메일을 보내게 된점 정말 죄송합니다.
첨부한 그림은 제가 진동과 관련된 책에서 본 그림입니다.
그림을 보면 1개의 집중질량을 갖을 땐 전체질량의 반을 적용하고 있습니다. 이건 어떻게 생각을 해야할까요.
혼란스럽습니다. 교수님의 명쾌한 해설 듣고싶습니다




[A2]
그림 잘 봤습니다.

유한요소법에서 형상함수를 사용하여 집중질량을 구할 경우,
translational 방향 자유도에 대해 요소 질량의 1/2씩 적용할 수 있습니다.
다만, 이 결과는 근사적인 결과이며,
이 경우에 합리적인 결과를 얻기 위해서는 구조물을 충분히 세분화(discretization)하여야 합니다.

참조로 구조동역학(김두기, 2009, 예제 3-3.2절 외팔보의 고유진동수, p.252)을 참조하면,
단순히 1개 유한요소와 1/2의 질량 배분을 사용하면, 정확해와 큰 차이가 남을 알 수 있습니다.
즉, 유한요소의 개수가 증가할수록 정확해에 근사하는 것을 알 수 있습니다.

구조동역학에서 1/2의 배분을 예로 많이 사용은 것은
향후 유한요소법의 개념과도 일맥 상통하기 때문인 것 같습니다.
다만 유한요소법의 경우 충분한 수의 요소를 사용해야지 합리적인 값을 구할 수 있습니다.