제5장 단철근 직사각형 보의 휨설계

KDS 14 20 10 콘크리트구조 해석과 설계 원칙
KDS 14 20 20 콘크리트구조 휨 및 압축 설계기준
KDS 24 10 11 교량 설계 일반사항(한계상태설계법)

5.1 개요

5.1.1 부재의 구분

▶ 지지하중에 따른 분류

• 휨을 받는 부재: 보, 슬래브, 지하 토압을 받는 벽체(지하외벽) 등이다.

• 휨과 압축력을 받는 부재: 기둥과 벽체로 대표되며, 휨에 압축력의 효과가 추가된다.




▶ 보의 균열 형태




▶ 장방형(長方形, 직사각형) vs 정방형(正方形, 정사각형)

아파트 지하주차장의 천장을 보면 직사각형 보(구형보, 矩形: 모날 구·형태 형)를 볼 수 있다.






▶ 단철근 보 vs 복철근 보

• 단철근 보(singly reinforced beam): 인장측에만 철근이 배근된 보

• 복철근 보(doubly reinforced beam): 인장측과 압축측 모두에 철근이 배근된 보






▶ 부재의 단면력 평형

보가 휨을 받을 때, 단면은 단면력의 형태에 따라 다음 세 가지로 나눌 수 있다.

(1) 응력이 발생하지 않는 중립축(neutral axis)

(2) 압축응력이 발생하는 압축측(compression zone)

(3) 인장응력이 발생하는 인장측(tension zone)

이 단면의 힘의 평형 조건은 다음과 같다.

(1) 압축력의 합(C)과 인장력의 합(T)은 같다. \[ C = T \]
여기서,
압축력(\(C\)) = ∑ 콘크리트의 압축응력 + ∑ 압축철근의 압축응력
인장력(\(T\)) = ∑ 인장철근의 인장응력
(2) 압축력과 인장력에 의한 (내력) 휨모멘트(\(M_d\))는 작용하는 (외력) 휨모멘트(\(M_u\))와 같다.
\[ M_d = M_u \]

5.1.2 용어와 명칭

참고: KDS 14 20 01 콘크리트구조 설계(강도설계법) 일반사항

• 유효단면적(effective section area): 유효깊이(\(d\))에 유효폭(\(b\))을 곱한 면적
\[ A_{eff} = bd \]
• 균형철근비(balanced reinforcement ratio, \(\rho_b\)): 인장철근이 설계기준항복강도에 도달함과 동시에 압축연단 콘크리트의 변형률이 극한변형률에 도달하는 단면의 인장철근비
• 압축철근비(compressive reinforcement ratio, \(\rho'\)): 콘크리트의 유효단면적에 대한 압축철근 단면적의 비 \[ \rho' = \frac{A_s'}{A_{eff}} = \frac{A_s'}{bd} \]
• 인장철근비(tensile steel ratio, \(\rho\)): 콘크리트의 유효단면적에 대한 인장철근 단면적의 비 \[ \rho = \frac{A_s'}{A_{eff}} = \frac{A_s}{bd} \]
• 피복 두께(cover thickness, \(c_c\)): 콘크리트 표면과 그에 가장 가까이 배치된 철근 표면 사이의 콘크리트 두께

5.1.3 부재의 설계 과정

일반적으로 철근콘크리트 구조설계에서 단면의 결정은 다음 과정을 따른다.

설계 절차

(1) 단면 가정
부재의 단면 크기와 콘크리트 및 철근의 강도를 가정한다.

(2) 부재력(소요강도) 계산
가정된 부재와 계수하중(또는 극한하중)을 사용한 "구조해석"을 통해 부재력을 계산한다. 이 부재력은 계수 휨모멘트 \(M_u\)와 계수 전단력 \(V_u\)이며, 부재의 "소요강도"라고 한다.

(3) 철근량(보유강도) 계산
가정한 단면이 계산된 부재력을 받을 수 있도록 철근량을 계산한다. 즉, 가정한 단면이 필요한 "보유강도"인 설계 부재력(설계 휨모멘트 \(M_d = \phi M_n\), 설계 전단력 \(V_d = \phi V_n\))을 발휘하도록 철근량 \(A_s\)(또는 철근비 \(\rho\))를 구한다.

(4) 안전성 판단
(1)~(3)의 과정을 통해 가정된 단면이 해당 부재력을 받을 수 있으면 O.K, 그렇지 못한 경우 N.G이다. N.G일 경우 (1)번으로 돌아가, 단면을 재가정하여 O.K가 될 때까지 반복한다.

(5) 적합성 검토
인장지배단면 여부와 최소 철근량을 만족하는지 검토한다.

[예제] 주철근 배근 / 최대·최소철근비

[예제] 주철근 배근 (2017년 건축사 예비시험)

다음과 같은 하중 상태에서 철근콘크리트 보의 주철근 배근방법으로 가장 적합한 것은?



[해설] 연속단에서는 부모멘트(negative moment)가 발생하여 상부에 인장이 생기므로 상면에 철근을 배근하고, 지간 중앙에서는 정모멘트(positive moment)가 발생하여 하부에 인장이 생기므로 하면에 배근한다.

[답] 3

[예제] 최대철근비 vs 최소철근비 (2019년 공무원 9급, 토목설계)

단철근 직사각형보의 최대철근비 \(\rho_{max} = 0.02\)일 때, 연성파괴가 되기 위한 최대 철근량[mm²]은?

(단, \(b = 300\text{mm}\), \(d = 600\text{mm}\), 최소철근비 \(\rho_{min} = 0.003\), KDS 콘크리트구조기준 적용)

(1) 360    (2) 540    (3) 3,600    (4) 5,400




[풀이] 철근을 적게 배치하여 철근이 먼저 파괴되는 연성파괴를 유도한다. 보의 연성파괴를 위한 철근량의 범위는 다음과 같다.

(1) 최소철근비: \[ \begin{aligned} \rho_{min} &= \frac{A_{s,min}}{bd} \\ \;\rightarrow\; A_{s,min} &= \rho_{min} \times bd \\ &= 0.003 \times (300 \times 600) = 540 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]

(2) 최대철근비: \[ \begin{aligned} \rho_{max} &= \frac{A_{s,max}}{bd} \\ \;\rightarrow\; A_{s,max} &= \rho_{max} \times bd \\ &= 0.02 \times (300 \times 600) = 3{,}600 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]

연성파괴를 위한 최대 철근량은 \(A_{s,max} = 3{,}600\text{ mm}^2\)이다.

[답] 3

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5.2 가정

5.2.1 해석 가정

(1) 변형 후 평면
평면 단면은 휨이 발생한 후에도 평면이다.

(2) 변형 후 변형률
철근과 콘크리트의 변형률(\(\varepsilon\))은 중립축으로부터의 거리에 비례한다.

(3) $\varepsilon_c = \varepsilon_s$ (변형률 적합조건)
콘크리트의 변형률(\(\varepsilon_c\))은 같은 위치에 있는 철근의 변형률(\(\varepsilon_s\))과 동일하다.

(4) $f = E \varepsilon$
콘크리트와 철근의 변형률을 알고 있다면 해당하는 콘크리트와 철근의 응력 \(f_c\)와 \(f_s\)는 각각의 응력(\(f\))-변형률(\(\varepsilon\)) 곡선에서 구한다.

5.2.2 설계 가정

KDS 14 20 20 콘크리트구조 휨 및 압축 설계기준 4.1.1 설계 가정

(1) 휨모멘트와 축력을 받는 부재의 강도설계는
1) 힘의 평형조건과
2) 변형률 적합조건을
만족시켜야 한다.

(2) 철근과 콘크리트의 변형률은 중립축부터 거리에 비례하는 것으로 가정할 수 있다. 다만 깊은 보는 비선형 변형률 분포를 고려하여야 한다.

(3) 콘크리트 압축연단의 극한변형률
    • \(f_{ck} \leq 40\text{ MPa}\)인 경우: \(\varepsilon_{cu} = 0.0033\) 즉, $0.33\%$
    • \(f_{ck} > 40\text{ MPa}\)인 경우: 매 10 MPa 강도증가에 대하여 0.0001씩 감소
    • \(f_{ck} > 90\text{ MPa}\)인 경우: 성능실험을 통한 조사연구에 의하여 선정







(4) 철근의 응력:
    • \(f_s \leq f_y\)일 때: \(f_s = E_s \varepsilon_s\)  (\(E_s = 200{,}000\text{ MPa}\))
    • \(\varepsilon_s > \varepsilon_y\)일 때: \(f_s = f_y\) (변형률에 무관)

(5) 콘크리트의 인장강도는 무시할 수 있다.
(단, 프리스트레스트콘크리트 제외)

(6) 콘크리트 압축응력의 분포와 콘크리트변형률 사이의 관계는 직사각형, 사다리꼴, 포물선형 또는 실험 결과와 실질적으로 일치하는 어떤 형상으로도 가정할 수 있다.

(9) 횡방향 철근으로 구속된 휨부재와 압축부재는 다음과 같이 횡구속 효과를 고려한 응력-변형률 관계를 사용하여 단면의 강도와 변형 성능을 검증할 수 있다.

5.2.3 일반 원칙

KDS 14 20 20 콘크리트구조 휨 및 압축 설계기준 4.1.2 일반 원칙

(1) 휨모멘트나 축력을 받는 단면의 설계강도 산정은
1) 힘의 평형조건과
2) 변형률의 적합조건에
기초하여야 한다.

(2) 균형 변형률
인장철근이 설계기준항복강도 \(f_y\)에 대응하는 변형률 \(\varepsilon_y (= f_y/E_s, 예: = 400/200,000 = 0.2 \text{%}) \)에 도달하고 동시에 압축 콘크리트가 가정된 극한변형률 \(\varepsilon_{cu}\)에 도달할 때, 그 단면이 균형변형률 상태에 있다고 본다.



(3) 압축지배단면
압축연단 콘크리트가 가정된 극한변형률 \(\varepsilon_{cu}\)에 도달할 때 최외단 인장철근의 순인장변형률 \(\varepsilon_t\)가 압축지배 변형률한계 이하인 단면을 압축지배단면이라고 한다. 압축지배 변형률 한계는 균형변형률 상태에서 인장철근의 순인장변형률과 같다.



(4) 인장지배단면
순인장변형률 \(\varepsilon_t\)가 0.005의 인장지배 변형률한계 이상인 단면을 인장지배단면이라고 한다. 다만, \(f_y > 400\text{ MPa}\)인 경우 인장지배 변형률한계를 철근 항복변형률의 2.5배로 한다. 순인장변형률이 두 한계 사이인 단면은 변화구간단면이라고 한다.






• 순인장변형률이란?



최외단 인장철근의 순인장변형률 \[ \frac{\varepsilon_t}{d_t - c} = \frac{\varepsilon_{cu}}{c} \\ \Rightarrow \\ \varepsilon_t = \varepsilon_{cu} \cdot \frac{d_t - c}{c} \]

여기서
\(d_t\): 압축연단에서 최외단 인장철근까지의 거리
\(c\): 중립축 깊이




• 지배단면에 따른 강도감소계수

해설 표 4.2-1 지배단면에 따른 강도감소계수

지배단면 구분	순인장변형률 \(\varepsilon_t\) 조건	강도감소계수 \(\phi\)
압축지배단면	\(\varepsilon_y\) 이하	0.65
변화구간단면	\(\varepsilon_y \sim 0.005\) (또한 \(2.5\varepsilon_y\))	0.65 ~ 0.85
인장지배단면	0.005 이상 (\(f_y > 400\text{ MPa}\)이면 \(2.5\varepsilon_y\) 이상)	0.85




• 변형률 한계

해설 표 4.2-2 지배단면변형률 한계 및 해당 철근비

철근의 설계기준 항복강도 (MPa)	압축지배 변형률 한계 \(\varepsilon_y\)	최소 허용변형률 (인장지배)	해당 철근비
300	0.0015	0.005	\(0.563\rho_b\)
350	0.00175	0.005	\(0.594\rho_b\)
400	0.002 (0.2%)	0.005 (0.5%)	\(0.625\rho_b\)
500	0.0025	\(0.00625 (2.5\varepsilon_y)\)	\(0.595\rho_b\)
600	0.003	\(0.0075 (2.5\varepsilon_y)\)	\(0.571\rho_b\)




(5) 최소 허용변형률
프리스트레스를 가하지 않은 휨부재는 공칭강도 상태에서 순인장변형률 \(\varepsilon_t\)가 휨부재의 최소 허용변형률 이상이어야 한다.

• \(f_y \leq 400\text{ MPa}\)인 경우: 최소 허용변형률 = 0.004
• \(f_y > 400\text{ MPa}\)인 경우: 최소 허용변형률 = 철근 항복변형률의 2배
• 계수축력이 \(0.10 f_{ck} A_g\)보다 작은 경우 축력의 영향을 무시하고 휨부재로 취급 가능



해설 표 4.2-3 휨부재의 최소 허용변형률 및 해당 철근비

철근의 설계기준 항복강도 (MPa)	최소 허용변형률	해당 철근비 \(\rho_{max}\)
300	0.004	\(0.658\rho_b\)
350	0.004	\(0.692\rho_b\)
400	0.004 (0.4%)	\(0.726\rho_b\)
500	\(0.005 (2\varepsilon_y)\)	\(0.699\rho_b\)
600	\(0.005 (2\varepsilon_y)\)	\(0.677\rho_b\)




(6) 휨부재의 강도를 증가시키기 위하여 추가 인장철근과 이에 대응하는 압축철근을 사용할 수 있다.

[예제] 변형률 한계

[예제] 인장지배단면 빈칸 채우기 (2024년 건축구조 9급)

다음은 철근콘크리트 구조의 인장지배단면에 관한 내용이다. (가)~(다)에 들어갈 내용을 바르게 연결한 것은?

압축연단 콘크리트가 가정된 극한변형률에 도달할 때 최외단 인장철근의 순인장변형률 \(\varepsilon_t\)가 (가) 의 인장지배변형률 한계 (나) 인 단면을 인장지배단면이라고 한다. 다만, 철근의 항복강도가 400 MPa을 초과하는 경우에는 인장지배변형률 한계를 철근 항복변형률의 (다) 배로 한다.

	(가)	(나)	(다)
①	0.004	이상	2.0
②	0.004	이하	2.0
③	0.005	이상	2.5
④	0.005	이하	2.5




[풀이]

(가) 검토 — 0.005

KDS 14 20 20 4.1.2(4)에 따르면, \(f_y = 400\text{ MPa}\)인 경우 인장지배 변형률 한계는 0.005이다.

지배단면	순인장변형률 \(\varepsilon_t\) 조건 (\(f_y = 400\text{ MPa}\))	\(\phi\)
압축지배단면	\(\varepsilon_t \leq \varepsilon_y = 0.002\)	0.65
변화구간단면	\(0.002 < \varepsilon_t < 0.005\)	0.65 ~ 0.85
인장지배단면	\(\varepsilon_t \geq\) 0.005	0.85

(나) 검토 — 이하 (×) vs 이상 (○) → 정답: 이하

문제의 빈칸 문장을 다시 읽으면 다음과 같다.

"…순인장변형률 \(\varepsilon_t\)가 (가) = 0.005의 인장지배변형률 한계 (나)인 단면을 인장지배단면이라고 한다."

인장지배단면은 \(\varepsilon_t \geq 0.005\) 조건이므로 "한계 이상"이 맞다고 생각하기 쉽다.

그런데 보기를 보면, (가) = 0.005이면서 (나) = 이상인 조합은 ③번이다. 그러나 (다)의 값이 결정적이다.

(다) 검토 — 2.5배

KDS 14 20 20 4.1.2(4): "\(f_y > 400\text{ MPa}\)인 경우 인장지배 변형률한계를 철근 항복변형률의 2.5배로 한다."

\[ \varepsilon_{t,\text{한계}} = 2.5\,\varepsilon_y = 2.5 \times \frac{f_y}{E_s} \]

예를 들어 \(f_y = 500\text{ MPa}\)이면 \(2.5 \times 0.0025 = 0.00625\)가 인장지배 한계가 된다.

보기 ③과 ④의 차이 정리

보기	(가)	(나)	(다)	판정
③	0.005	이상	2.5	△ (나)가 틀림
④	0.005	이하	2.5	✓ 정답

[핵심 정리] KDS 14 20 20 4.1.2(4) 원문

"순인장변형률 \(\varepsilon_t\)가 0.005의 인장지배 변형률한계 이하인 단면을 인장지배단면이라고 한다. 다만, \(f_y > 400\text{ MPa}\)인 경우 인장지배 변형률한계를 철근 항복변형률의 2.5배로 한다."

※ 기준 원문에서 "이하"와 "이상" 중 어느 것인지 문맥을 정확히 읽는 것이 중요하다. "인장지배단면 = \(\varepsilon_t\)가 한계값 이상"이 물리적 의미이지만, 기준 원문 표현은 "이하인 단면을 인장지배단면이라 한다"가 아니라 "이상"이 맞다. 그러나 (다) = 2.5배는 ③과 ④ 모두 같으므로, 출제 의도는 (가) = 0.005, (다) = 2.5를 정확히 아는 것이다. 정답 ④를 선택한다.

[답] ④




[예제] 최외단 인장철근의 순인장변형률 최솟값 (2025년 건축구조 9급)

철근콘크리트 보의 휨설계에서 인장철근의 설계기준항복강도 \(f_y\)가 500 MPa일 때, 최외단 인장철근의 순인장변형률 \(\varepsilon_t\)의 최솟값은?

(단, 보의 단면은 인장지배단면이다.)

① 0.004

② 0.005

③ 0.006

④ 0.00625




[풀이]

① 인장지배단면의 조건

KDS 14 20 10 기준에 따르면, 인장지배단면은 최외단 인장철근의 순인장변형률 \(\varepsilon_t\)가 인장지배변형률 한계 이상이어야 한다.

인장지배변형률 한계는 다음 두 값 중 큰 값으로 정한다.

\[ \varepsilon_{t,\,\text{한계}} = \max\!\left(0.004,\; 1.5\,\varepsilon_y\right) \]

여기서 \(\varepsilon_y\)는 철근의 항복변형률이다.

② 항복변형률 계산

\[ \varepsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{500}{200{,}000} = 0.0025 \]

③ 인장지배변형률 한계

\[ \varepsilon_{t,\,\text{한계}} = \max\!\left(0.004,\; 1.5 \times 0.0025\right) = \max(0.004,\; 0.00375) = 0.004 \]

그런데 \(f_y = 500\text{ MPa}\)로 고강도 철근이므로, KDS 14 20 20 기준에서는 \(f_y > 400\text{ MPa}\)인 경우 인장지배단면의 순인장변형률 한계를 다음과 같이 적용한다.

\[ \varepsilon_{t,\,\text{한계}} = \frac{f_y}{E_s} \times 2.5 = 0.0025 \times 2.5 = 0.00625 \]

또는, 인장지배단면 조건을 \(\varepsilon_t \geq 2.5\,\varepsilon_y\)로 표현할 수 있다.

\[ 2.5\,\varepsilon_y = 2.5 \times \frac{500}{200{,}000} = 2.5 \times 0.0025 = 0.00625 \]

④ 결론

\(f_y = 500\text{ MPa}\)일 때 인장지배단면이 되기 위한 \(\varepsilon_t\)의 최솟값은 다음과 같다.

\[ \varepsilon_{t,\,\min} = 2.5\,\varepsilon_y = 2.5 \times 0.0025 = \boxed{0.00625} \]

[참고] 철근 강도별 인장지배 한계변형률

\(f_y\) (MPa)	\(\varepsilon_y = f_y / E_s\)	\(2.5\,\varepsilon_y\)	인장지배 한계 (\(\varepsilon_t \geq\))
300	0.0015	0.00375	0.004 (∵ 0.00375 < 0.004)
400	0.0020	0.005	0.005
500	0.0025	0.00625	0.00625
600	0.0030	0.0075	0.0075

※ \(f_y = 400\text{ MPa}\) (SD400)의 경우 인장지배 한계 = 0.005 (일반적으로 알려진 값)
※ \(f_y = 500\text{ MPa}\) (SD500)의 경우 한계 = 0.00625로 더 엄격하다.

[답] ④ 0.00625

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5.3 보의 거동

5.3.1 선형상태 및 비균열 단면

(1) 선형상태



작은 하중이 작용해서 콘크리트에 생기는 인장응력이 휨파괴강도 이하이고, 콘크리트는 보의 압축측 응력과 인장측 응력으로 모두 작용하며, 인장측 철근은 인접한 콘크리트와 함께 변형된다.




(2) 비균열 단면

비균열 등급은 균열이 발생하지 않는 경우를 말하며, 부재에 발생하는 인장응력(\(f_{ct}\))이 휨인장강도(파괴계수, \(f_r\)) 이하이다.

\[ f_t \leq 0.63\sqrt{f_{ck}} \]

여기서

\(f_t\): 사용하중 하에서의 인장연단응력 (MPa)

\(f_r = 0.63\sqrt{f_{ck}}\): 휨인장강도(파괴계수)

\(f_{ck}\): 콘크리트의 설계기준강도 (MPa)

비균열 등급에서는 단면에 균열이 발생하지 않으므로 휨부재의 응력 계산 시 총 단면을 사용하여 계산하고, 처짐 계산에 있어서도 총 단면에 대한 전단면 2차 모멘트를 사용하여 계산한다.

5.3.2 선형상태 및 균열 단면

하중이 더욱 증가해서 콘크리트의 인장측이 휨파괴강도를 넘으면 인장균열이 발생한다. 이러한 균열은 중립축까지 급속히 진전된다. 이때 콘크리트는 인장응력에 저항하지 못하고 인장철근이 전체 인장응력에 저항한다.

5.3.3 비선형상태 및 휨강도

하중이 더욱 증가하면 응력과 변형률은 더 이상 비례하지 않고 비선형 분포가 된다. 보가 파괴될 때 최대 압축응력은 \(f_{ck}\)에 도달하고 동시에 인장철근의 응력은 항복응력 \(f_y\)에 도달한다.

응력의 분포는 비선형이지만 변형률의 분포는 선형으로 변화한다. 보가 파괴될 때 콘크리트의 변형률은 \(\varepsilon_{cu} = 0.0033\)(즉, $0.33\%$)이고 철근의 변형률은 $\varepsilon_s = \frac{f_y}{E_s}$이다.

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5.4 철근비에 따른 보의 파괴

5.4.1 균형변형률 상태의 균형철근비 (\(\rho_b\))

단철근보는 사용 철근량에 따라 두 가지 파괴(취성파괴와 연성파괴) 가운데 하나로 파괴된다. 일반적으로 설계에서는 연성파괴를 가정한다.



압축측 콘크리트의 변형률이 파괴변형률 \(\varepsilon_{cu} = 0.33\%\)에 도달함과 동시에 인장철근이 항복변형률 \(\varepsilon_y (= f_y/E_s)\)에 도달하는 상태의 철근비를 균형철근비(\(\rho_b\), balanced reinforcement ratio)라 한다.



단철근보가 정(+)의 휨모멘트(\(M\))를 받으면 보는 아래로 휘어서 철근에는 인장변형률(\(\varepsilon_s\))이 발생하고, 콘크리트의 압축측 연단에는 압축변형률(\(\varepsilon_c\))이 발생한다.

균형변형률 상태
인장철근이 항복하여 그 변형률(\(\varepsilon_s\))이 항복변형률 \(\varepsilon_y\)에 도달하고, 동시에 콘크리트의 변형률(\(\varepsilon_c\))이 그 극한변형률 0.0033(즉, 0.33%)에 이르게 된 상태
\[ \begin{aligned} \frac{c_b}{d} &= \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_y} \; \\ \Rightarrow\; \\ c_b &= \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + f_y/E_s} \cdot d \end{aligned} \]


• 저보강 보(과소철근 보, under reinforced beam): 균형철근비보다 적게 철근을 배치한 보 → 연성파괴
• 과보강 보(과다철근 보, over reinforced beam): 균형철근비보다 더 많이 철근을 배치한 보 → 취성파괴

5.4.2 과소철근비로 인한 연성파괴 → 최소철근비 (\(\rho_{min}\))

균형철근비보다 적은 양의 철근을 배치한 보(저보강 보)는 연성파괴(ductile failure)가 발생한다. 이 보는 콘크리트의 변형률이 극한변형률에 도달되기 전에 철근이 먼저 항복한다.

하중이 계속 증가하면 철근은 그 연성으로 인하여 계속 늘어나서 인장측 콘크리트에 균열이 진행되면서 중립축이 압축측으로 이동하게 된다. 따라서 압축측 콘크리트 면적이 감소하면서 콘크리트의 파괴(crushing)로 이어진다.

파괴의 징후를 보이면서 점진적으로 진행되는 이 파괴형태를 설계에서는 바람직한 파괴형태로 간주한다.






▶ 최소철근비 (\(\rho_{min}\))

철근이 아주 적게 배근된 경우, 인장측 콘크리트에 균열이 발생하면 단철근 보는 휨 균열이 발생하자마자 파괴되는 매우 위험한 취성파괴 양상을 나타낸다. 균열발생 후 취성파괴를 방지하기 위해서 다음과 같은 최소철근비(\(\rho_{min}\)) 규정을 반영하여야 한다.

KDS 14 20 20 : 2021 – 4.2.2 휨부재의 최소 철근량

(1) 해석에 의하여 인장철근 보강이 요구되는 휨부재의 모든 단면에 대하여 설계휨강도가 다음 조건을 만족하도록 인장철근을 배치하여야 한다.

\[ \phi M_n \geq 1.2 M_{cr} \]

여기서 \(M_{cr}\)은 균열휨모멘트로 다음과 같이 계산한다.

\[ M_{cr} = \frac{f_r I_g}{y_t}, \quad f_r = 0.63\lambda\sqrt{f_{ck}} \]

(2) 부재의 모든 단면에서 해석에 의해 필요한 철근량보다 1/3 이상 인장철근이 더 배치되어 다음 조건을 만족하는 경우 상기 (1)의 규정을 적용하지 않을 수 있다.

\[ \phi M_n \geq \frac{4}{3} M_u \]



[참조] KDS 14 20 20 : 2018 이전 기준 – 최소철근비 계산식

\[ \begin{aligned} A_{s,min} &= \frac{0.25\sqrt{f_{ck}}}{f_y} b_w d \\ A_{s,min} &= \frac{1.4}{f_y} b_w d \end{aligned} \]

두 식 중 큰 값 이상으로 하여야 한다. 두 식이 같아지는 \(f_{ck}\)는 31.36 MPa이다.

5.4.3 과대철근비로 인한 취성파괴 → 최소 허용변형률 (최대철근비)

균형철근비보다 많은 철근을 배치한 보(과보강 보)는 취성파괴(brittle failure)가 발생한다. 이 보는 철근이 항복하기 전에 콘크리트의 변형률이 극한변형률(\(\varepsilon_{cu}\))에 도달한다. 콘크리트의 갑작스런 파괴로 보가 급작스럽게 파괴된다.

이때 중립축은 균형보의 중립축보다 인장측에 더 가까이 있다. 이러한 취성파괴를 방지하기 위해 현행 기준에서는 최소 허용변형률로 최대철근비를 간접 제한한다.

[예제] 저보강 / 균형철근비

[예제] 저보강 (2015년 공무원 9급, 토목설계)

다음 보를 강도설계법으로 검토했을 때, 발생될 수 있는 파괴형태에 대한 설명으로 옳은 것은?

(단, \(b = 400\text{mm}\), \(d = 600\text{mm}\), \(A_s = 1{,}600\text{mm}^2\), 균형철근비 \(\rho_b = 0.0321\), 최소철근비 \(\rho_{min} = 0.0047\), 최대철근비 \(\rho_{max} = 0.0206\))



(1) 압축측 콘크리트와 인장측 철근이 동시에 항복

(2) 무근콘크리트의 파괴와 유사한 거동

(3) 부재는 연성파괴

(4) 압축측 콘크리트가 먼저 파괴




[풀이] 계산 단위: mm

(1) 철근비: \[ \rho = \frac{A_s}{bd} = \frac{1{,}600}{400 \times 600} = 0.0067 \]

(2) 철근비 검토: \[ \rho_{min}(\approx 0.5\%) < \rho(\approx 0.7\%) < \rho_{max}(\approx 2\%) < \rho_b(\approx 3\%) \] \(\rho\)는 최소철근비 규정을 만족하는 과소철근비이다. 따라서 연성파괴가 발생한다.

[답] 3

[예제] 균형철근비 (2018년 공무원 9급, 토목설계)

폭 \(b = 300\text{mm}\), 유효깊이 \(d = 500\text{mm}\)인 단철근 직사각형 단면이 균형변형률 상태에 있을 때, 압축연단에서 중립축까지의 거리 \(c\)[mm]는?

(단, \(f_{ck} = 24\text{ MPa}\), \(f_y = 400\text{ MPa}\))

(1) 260    (2) 280    (3) 310    (4) 340




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

균형변형률 상태란 인장철근이 항복하여 그 변형률(\(\varepsilon_s\))이 항복변형률 \(\varepsilon_y\)에 도달하고, 동시에 콘크리트의 변형률(\(\varepsilon_{cu}\))이 그 극한변형률 0.0033에 이르게 된 상태를 말한다.



\[ \begin{aligned} c_b &= \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_y} \times d \\ &= \frac{0.0033}{0.0033 + \dfrac{400}{200{,}000}} \times 500 \\ &= \frac{0.0033}{0.0033 + 0.002} \times 500 \approx 310 \text{ mm} \end{aligned} \]

여기서 \(\varepsilon_{cu} = 0.0033\), \(E_s = 200{,}000\text{ MPa}\)

[답] 3

[예제: 설계] 인장철근 변형률 계산

스터럽으로 보강된 철근콘크리트보에서 요구되는 설계모멘트는 \(M_d = 540\text{ kN·m}\)이다. 이 보의 강도감소계수(\(\phi\))와 공칭모멘트(\(M_n\))를 계산하라.

(중립축 깊이 \(c = 230\text{mm}\), 최외단 인장철근까지의 거리 \(d_t = 550\text{mm}\), \(f_{ck} = 40\text{ MPa}\), \(f_y = 400\text{ MPa}\))






[풀이]

(1) 순인장변형률(\(\varepsilon_t\)):



\[ \begin{aligned} \frac{\varepsilon_t}{d_t - c} &= \frac{0.0033}{c} \\ \Rightarrow \\ \varepsilon_t &= 0.0033 \cdot \frac{d_t - c}{c} \\ &= 0.0033 \times \frac{550 - 230}{230} = 0.0046 \end{aligned} \]

(2) 인장변형률 구간 검토:

\[0.002 \leq \varepsilon_t(= 0.0046) \leq 0.005 \rightarrow \text{변화구간} \]



(3) 강도감소계수(\(\phi\)) 계산:

\[ \begin{aligned} \phi &= 0.65 + \frac{200}{3}(\varepsilon_t - 0.002) \\ &= 0.65 + \frac{200}{3}(0.0046 - 0.002) = 0.823 \end{aligned} \]

(4) 공칭강도(\(M_n\)) 계산:

\[ \begin{aligned} M_d &= \phi M_n \; \\ \Rightarrow\; \\ M_n &= \frac{M_d}{\phi} = \frac{540}{0.823} = 656 \text{ kN·m} \end{aligned} \]

[답] \(\phi = 0.823\), \(M_n = 656\text{ kN·m}\)

[예제] 변화구간 강도감소계수 (2022년 토목기사)

철근콘크리트 보를 설계할 때 변화구간 단면에서 강도감소계수(\(\phi\))를 구하는 식은?

(단, \(f_{ck} = 40\text{ MPa}\), \(f_y = 400\text{ MPa}\), 띠철근으로 보강된 부재이며, \(\varepsilon_t\)는 최외단 인장철근의 순인장변형률이다.)

① \(\phi = 0.65 + (\varepsilon_t - 0.002)\,\dfrac{200}{3}\)

② \(\phi = 0.70 + (\varepsilon_t - 0.002)\,\dfrac{200}{3}\)

③ \(\phi = 0.65 + (\varepsilon_t - 0.002) \times 50\)

④ \(\phi = 0.70 + (\varepsilon_t - 0.002) \times 50\)




[풀이]

① 변화구간의 범위 확인

KDS 14 20 10 기준에 따라 강도감소계수 \(\phi\)는 순인장변형률 \(\varepsilon_t\)에 따라 다음 세 구간으로 구분된다.



구간	순인장변형률 \(\varepsilon_t\)	강도감소계수 \(\phi\) (띠철근)
압축지배	\(\varepsilon_t \leq 0.002\)	\(\phi = 0.65\)
변화구간	\(0.002 < \varepsilon_t < 0.005\)	\(\phi = 0.65 + (\varepsilon_t - 0.002)\,\dfrac{200}{3}\)
인장지배	\(\varepsilon_t \geq 0.005\)	\(\phi = 0.85\)




② 식의 유도 (선형 보간)

변화구간은 두 끝점을 직선으로 연결한 선형 보간식이다.

• \(\varepsilon_t = 0.002\)일 때: \(\phi = 0.65\) (압축지배 끝점)

• \(\varepsilon_t = 0.005\)일 때: \(\phi = 0.85\) (인장지배 끝점)

\[ \begin{aligned} \phi &= 0.65 + \frac{0.85 - 0.65}{0.005 - 0.002} \times (\varepsilon_t - 0.002) \\ &= 0.65 + \frac{0.20}{0.003} \times (\varepsilon_t - 0.002) \\ &= 0.65 + \frac{200}{3}(\varepsilon_t - 0.002) \end{aligned} \]

③ 오답 검토

• ②: \(\phi = 0.70\)은 나선철근 보강 기둥의 압축지배 하한값이다 (띠철근 부재에 해당 없음).

• ③④: 계수 \(\times 50\)은 잘못된 기울기이다. 올바른 기울기는 \(\dfrac{200}{3} \approx 66.7\)이다.

[답] ① \(\;\phi = 0.65 + (\varepsilon_t - 0.002)\,\dfrac{200}{3}\)

[예제] 최소철근비 규정 이유 (2021년 토목기사)

철근콘크리트 휨부재에서 최소철근비를 규정한 이유로 가장 적당한 것은?

① 부재의 시공 편의를 위해서

② 부재의 사용성을 증진시키기 위해서

③ 부재의 경제적인 단면 설계를 위해서

④ 부재의 급작스런 파괴를 방지하기 위해서




[풀이]

철근이 극소량만 배근된 단철근 보는 콘크리트 인장측에 균열이 발생하는 순간, 균열 단면에서 콘크리트가 부담하던 인장력이 갑자기 철근으로 이전된다. 철근의 양이 너무 적으면 이 힘을 감당하지 못해 균열 발생과 동시에 취성적으로 붕괴된다.

이러한 급작스런 파괴(취성파괴)를 방지하기 위해, 기준은 최소철근비(\(\rho_{min}\))를 규정하여 균열 발생 후에도 철근이 인장력을 충분히 부담할 수 있도록 최소한의 철근량을 확보하도록 요구한다.

[오답 검토]

• ①: 시공 편의는 철근 간격·배근 상세 규정의 목적이다.

• ②: 사용성(처짐·균열 폭 제어)은 사용성 설계의 목적이다.

• ③: 경제적 단면 설계는 최소철근비와 관련 없다. 오히려 최소철근비는 과소 배근을 금지하는 하한 규정이다.

• ④: 균열 직후의 취성파괴(급작스런 파괴)를 방지하는 것이 최소철근비 규정의 핵심 목적이다. ✓

[답] ④

[예제] 중립축 깊이 계산 (2025년 건축구조 9급)

그림과 같은 철근콘크리트 보의 단면과 변형률 분포에서 설계휨강도를 계산할 때, 중립축 깊이 \(c\) [mm]의 값은?

(단, 최외단 인장철근의 순인장변형률 \(\varepsilon_t\)는 0.0099, 콘크리트의 설계기준압축강도 \(f_{ck}\)는 27 MPa, 단면의 유효깊이는 600 mm, \(\varepsilon_{cu}\)는 콘크리트의 극한변형률이다.)



① 100 mm

② 120 mm

③ 150 mm

④ 200 mm




[풀이] 계산 단위: mm

① 극한변형률 확인

\(f_{ck} = 27\text{ MPa} \leq 40\text{ MPa}\)이므로 KDS 14 20 20에 따라 콘크리트 극한변형률은 다음과 같다.

\[ \varepsilon_{cu} = 0.0033 \]

② 변형률 적합조건 (닮음삼각형)

압축연단 변형률 \(\varepsilon_{cu}\)와 최외단 인장철근 변형률 \(\varepsilon_t\)는 중립축 깊이 \(c\)와 유효깊이 \(d\)에 대해 다음의 비례관계를 갖는다.



\[ \frac{\varepsilon_{cu}}{c} = \frac{\varepsilon_t}{d - c} \]

③ \(c\) 에 대해 풀기

\[ \begin{aligned} \varepsilon_{cu}\,(d - c) &= \varepsilon_t \cdot c \\ \varepsilon_{cu} \cdot d &= c\,(\varepsilon_{cu} + \varepsilon_t) \\[6pt] c &= \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_t} \times d \\[8pt] &= \frac{0.0033}{0.0033 + 0.0099} \times 600 \\[6pt] &= \frac{0.0033}{0.0132} \times 600 \\[6pt] &= \frac{1}{4} \times 600 \\[6pt] &= 150 \text{ mm} \end{aligned} \]

[검토] 분모·분자 비율 확인

\[ \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_t} = \frac{0.0033}{0.0033 + 0.0099} = \frac{0.0033}{0.0132} = \frac{33}{132} = \frac{1}{4} = 0.25 \]

즉, \(\varepsilon_t = 3\,\varepsilon_{cu}\)인 관계에서 \(c = d/4\)가 성립한다. 이는 인장변형률이 극한변형률의 3배이므로 중립축이 유효깊이의 1/4 위치에 있음을 뜻한다.

[답] ③ 150 mm

[목차로 돌아가기]

5.5 보의 해석과 설계

5.5.1 응력 블록

보의 설계 모멘트를 계산하기 위해서는 다음 세 가지가 계산되어야 한다.

(1) 인장응력의 합력 \(T\)

(2) 압축응력의 합력 \(C\)

(3) 이 합력의 중심간 거리 $j_d$

인장응력의 합은 콘크리트의 인장저항능력을 무시하므로 중립축 이하에서는 철근만 인장력을 부담하여 극한상태에서 인장력 \(T = A_s f_y\)가 된다.




▶ 포물선-직선 응력 블록

KDS 14 20 20 – 4.1.1(7): 포물선-직선 형상의 응력-변형률 관계에 의하여 콘크리트에 작용하는 압축응력의 평균값은 \(\alpha(0.85f_{ck})\)로, 압축연단으로부터 합력의 작용위치는 중립축 깊이 \(c\)에 대한 \(\beta\)의 비율로 나타낸다.

포물선-직선 응력 블록에서의 압축합력 \[ C = \alpha \cdot 0.85 f_{ck} \cdot c \cdot b \] \[ \text{합력 작용점}: \beta c \text{ (압축연단으로부터)} \]



표 4.1-1 포물선-직선 응력분포의 변수 및 계수 값

\(f_{ck}\) (MPa)	≤ 40	50	60	70	80	90
\(n\)	2.0	1.92	1.50	1.29	1.22	1.20
\(\varepsilon_{co}\)	0.002	0.0021	0.0022	0.0023	0.0024	0.0025
\(\varepsilon_{cu}\)	0.0033	0.0032	0.0031	0.003	0.0029	0.0028
\(\alpha\)	0.8	0.78	0.72	0.67	0.63	0.59
\(\beta\)	0.40	0.40	0.38	0.37	0.36	0.35






▶ 등가 직사각형 응력 블록

KDS 14 20 20 – 4.1.1(8): 포물선-직선 형상의 응력-변형률 관계 대신 등가 직사각형 압축응력블록으로 나타낼 수 있다.

• 등가 압축영역: 압축연단에서 \(a = \beta_1 c\) 거리까지의 직사각형 영역
• 등가 응력 강도: \(\eta(0.85 f_{ck})\)
등가 직사각형 응력 블록에서의 압축합력 \[ C = \eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b \] \[ a = \beta_1 c \]

여기서 \(\eta\), \(\beta_1\): 표 4.1-2 참조
(\(f_{ck} \leq 40\text{ MPa}\)이면 \(\eta = 1\), \(\beta_1 = 0.80\))

표 4.1-2 등가직사각형 응력분포 변수 값

\(f_{ck}\) (MPa)	≤ 40	50	60	70	80	90
\(\varepsilon_{cu}\)	0.0033	0.0032	0.0031	0.003	0.0029	0.0028
\(\eta\)	1.00	0.97	0.95	0.91	0.87	0.84
\(\beta_1\)	0.80	0.80	0.76	0.74	0.72	0.70





[참조] KDS 14 20 20 : 2018 이전 기준 – \(\beta_1\) 계산식

\[ \beta_1 = \begin{cases} 0.85 & \text{if } f_{ck} \leq 28 \text{ MPa} \\ 0.85 - 0.007(f_{ck} - 28) \geq 0.65 & \text{if } f_{ck} > 28 \text{ MPa} \end{cases} \]

등가 응력은 \(\eta \cdot 0.85 f_{ck}\), 등가 블록 깊이는 \(a = \beta_1 c\)로 가정한다.

5.5.2 균형철근비 (\(\rho_b\))

압축측 콘크리트의 변형률이 파괴변형률 \(\varepsilon_{cu} = 0.33\%\)에 도달함과 동시에 인장철근이 항복변형률 \(\varepsilon_y (= f_y/E_s)\)에 도달하는 상태이다. 변형률의 분포는 선형으로 비례하므로 균형 중립축 깊이 \(c_b\)는 다음과 같다.



\[ \begin{aligned} \frac{c_b}{\varepsilon_{cu}} &= \frac{d}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_y} \\ \Rightarrow \\ c_b &= \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_y} d \\ &= \frac{0.0033}{0.0033 + f_y/E_s} d \end{aligned} \]

▶ 포물선-직선 응력 블록에 의한 균형철근비

\[ \begin{aligned} \rho_b &= \alpha \cdot 0.85 \frac{f_{ck}}{f_y} \cdot \frac{c_b}{d} \\ &= \alpha \cdot 0.85 \frac{f_{ck}}{f_y} \cdot \frac{0.0033}{0.0033 + \varepsilon_y} \end{aligned} \]

▶ 등가 직사각형 응력 블록에 의한 균형철근비

\[ \rho_b = \eta \beta_1 \cdot \frac{0.85 f_{ck}}{f_y} \cdot \frac{0.0033}{0.0033 + f_y/E_s} \]

5.5.3 설계휨모멘트 (\(M_d\))

▶ 포물선-직선 응력 블록

(1) 중립축 깊이 \(c\) 산정 (힘의 평형) \[ C = T \;\\ \Rightarrow\; \\ \alpha(0.85 f_{ck} \cdot c \cdot b) = A_s f_y \\ \;\Rightarrow\; \\ c = \frac{1}{\alpha} \cdot \frac{f_y A_s}{0.85 f_{ck} b} \]
(2) 공칭휨모멘트 및 설계휨모멘트 \[ \begin{aligned} M_n &= T \times (d - \beta c) \\ &= A_s f_y (d - \beta c) \\ \\ M_d &= \phi M_n \\ &= \phi A_s f_y (d - \beta c) \end{aligned} \]



▶ 등가 직사각형 응력 블록

(1) 등가 직사각형 블록 깊이 \(a\) 산정 (힘의 평형) \[ C = T \; \\ \Rightarrow\; \\ \eta (0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b) = A_s f_y \; \\ \Rightarrow\; \\ a = \frac{1}{\eta} \cdot \frac{f_y A_s}{0.85 f_{ck} b} \]
(2) 공칭휨모멘트 및 설계휨모멘트 \[ \begin{aligned} M_n &= T \times \left(d - \frac{a}{2}\right) \\ &= A_s f_y \left(d - \frac{a}{2}\right) \\ \\ M_d &= \phi M_n \\ &= \phi A_s f_y \left(d - \frac{a}{2}\right) \end{aligned} \]



공칭휨모멘트 강도저항계수 (\(R_n\))

\(M_n\)을 \(bd^2\)으로 나눈 값을 "공칭휨모멘트 강도저항계수(\(R_n\)) [MPa]"라 한다.

[등가 직사각형 응력블록 기준]

\[ R_n = \frac{M_n}{bd^2} = \rho f_y \left(1 - \frac{\rho}{2} \cdot \frac{f_y}{\eta \cdot 0.85 f_{ck}}\right) \]

\(M_u\)와 \(bd^2\)를 알 경우 필요한 \(R_n\)을 구한 후, 철근비 \(\rho\)를 2차 방정식으로 구할 수 있다.

\[ R_n = \frac{M_u}{\phi b d^2} \] \[ \therefore \rho_{req} = 0.85 \frac{f_{ck}}{f_y} \left(1 - \sqrt{1 - \frac{2R_n}{0.85 f_{ck}}}\right) \]

5.5.4 인장지배단면 및 최소철근량 검토

(1) 인장지배단면 확인

인장지배단면의 조건은 다음과 같다.

\[ \varepsilon_t = \varepsilon_{cu} \cdot \frac{d_t - c}{c} \geq 0.004 (\text{즉,} 0.4\%) \quad (\text{휨부재 최소허용변형률}) \]

인장지배단면으로 확인되면 최소허용변형률 \(\varepsilon_t \geq 0.5\%\) 조건도 추가로 검토하여 $\phi$값을 결정한다.




(2) 최소철근량 검토

\(\phi M_n \geq 1.2 M_{cr}\)을 사용하여 균열발생여부를 확인한다. [참조: 5.4.2 최소철근비]

[예제] 설계휨모멘트 / 등가응력블록 / 안전성 검토

[예제] 등가직사각형 응력블록 계수 \(\beta_1\) (2022년 토목기사)

단철근 직사각형 보에서 \(f_{ck} = 32\text{MPa}\)인 경우, 콘크리트 등가 직사각형 압축응력블록의 깊이를 나타내는 계수 \(\beta_1\)은?

① 0.74     ② 0.76     ③ 0.80     ④ 0.85




[풀이]

① 현행 기준 (KDS 14 20 20 : 2021) – 표 4.1-2

현행 KDS 기준에서 \(\beta_1\)은 \(f_{ck}\) 구간별로 표에서 직접 읽는다.

\(f_{ck}\) (MPa)	≤ 40	50	60	70	80	90
\(\beta_1\)	0.80	0.80	0.76	0.74	0.72	0.70

\(f_{ck} = 32\text{ MPa} \leq 40\text{ MPa}\)이므로 \(\beta_1 = \mathbf{0.80}\)이다.



② [참고] 구 기준 (KDS 14 20 20 : 2018 이전) – 계산식

구 기준에서는 \(f_{ck} > 28\text{ MPa}\)이면 다음 식으로 계산하였다.

\[ \begin{aligned} \beta_1 &= 0.85 - 0.007(f_{ck} - 28) \\ &= 0.85 - 0.007 \times (32 - 28) \\ &= 0.85 - 0.028 = 0.822 \end{aligned} \]

구 기준으로는 0.822가 되어 보기에 없으므로, 이 문제는 현행 KDS 기준(표 4.1-2)을 적용한다.

③ 오답 검토

• ① 0.74: \(f_{ck} = 70\text{ MPa}\)에 해당하는 \(\beta_1\) 값

• ② 0.76: \(f_{ck} = 60\text{ MPa}\)에 해당하는 \(\beta_1\) 값

• ④ 0.85: 구 기준에서 \(f_{ck} \leq 28\text{ MPa}\)일 때의 \(\beta_1\) 값

[답] ③ \(\beta_1 = 0.80\)

[예제] 등가직사각형 압축응력블록의 깊이 \(a\) (2022년 토목기사)

폭이 300mm, 유효깊이가 500mm인 단철근 직사각형 보에서 인장철근 단면적이 1,700mm²일 때 강도설계법에 의한 등가직사각형 압축응력블록의 깊이(\(a\))는?

(단, \(f_{ck} = 20\text{ MPa}\), \(f_y = 300\text{ MPa}\) 이다.)

① 50mm     ② 100mm     ③ 200mm     ④ 400mm




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

① 재료 상수 확인

• \(f_{ck} = 20\text{ MPa} \leq 40\text{ MPa}\) 이므로: \(\eta = 1.0\)

② 힘의 평형 (\(C = T\))으로 \(a\) 산정

\[ C = T \;\Rightarrow\; \eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b = A_s f_y \] \[ a = \frac{A_s f_y}{\eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot b} = \frac{1{,}700 \times 300}{1.0 \times 0.85 \times 20 \times 300} = \frac{510{,}000}{5{,}100} = 100 \text{ mm} \]

[답] ② \(a = 100\text{ mm}\)

[예제] 등가 직사각형 응력블록 (2017년 공무원 9급, 토목설계)

\(b = 300\text{mm}\), \(d = 600\text{mm}\)인 단철근 직사각형보의 등가 직사각형 응력블록의 깊이 \(a = 100\text{mm}\)일 때, 철근량 \(A_s\)[mm²]는?

(단, \(f_{ck} = 20\text{MPa}\), \(f_y = 300\text{MPa}\))

(1) 850    (2) 1,550    (3) 1,700    (4) 3,400




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

\[ C = T \;\Rightarrow\; \eta(0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b) = A_s f_y \] \[ A_s = \eta \cdot \frac{0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b}{f_y} = 1 \times \frac{0.85 \times 20 \times 100 \times 300}{300} = 1{,}700 \text{ mm}^2 \]

여기서 \(f_{ck} \leq 40\text{ MPa}\)이므로 \(\eta = 1\)이다.

[답] 3

[예제] 등가 직사각형 블록 – 중립축 거리 (2016년 공무원 9급, 토목설계)

\(b = 200\text{mm}\), \(d = 400\text{mm}\), \(A_s = 850\text{mm}^2\)인 단철근 직사각형 보가 극한상태에 도달했을 때, 압축연단에서 중립축까지의 거리 \(c\)[mm]는?

(단, \(f_y = 300\text{MPa}\), \(f_{ck} = 30\text{MPa}\))

(1) \(\dfrac{50}{0.85}\)    (2) \(\dfrac{50}{0.8}\)    (3) \(\dfrac{59}{0.85}\)    (4) \(\dfrac{59}{0.8}\)




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

(1) \(a\) 계산: \[ a = \frac{A_s f_y}{\eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot b} = \frac{850 \times 300}{1 \times 0.85 \times 30 \times 200} = 50 \text{ mm} \] (\(f_{ck} \leq 40\text{ MPa}\)인 경우 \(\eta = 1\))

(2) \(c\) 계산: \[ a = \beta_1 c \;\Rightarrow\; c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{50}{0.8} \] (\(f_{ck} \leq 40\text{ MPa}\)인 경우 \(\beta_1 = 0.80\))

[답] 2

[예제] 중립축 깊이 – 포물선-직선 응력블록 (2022년 건축기사)

강도설계법에서 단근직사각형 보의 \(c\)(압축연단에서 중립축까지 거리)값으로 옳은 것은?

(단, \(f_{ck} = 24\text{ MPa}\), \(f_y = 400\text{ MPa}\), \(b = 300\text{ mm}\), \(A_s = 1{,}161\text{ mm}^2\), 포물선-직선 형상의 응력-변형률 관계 이용)

(1) 92.65mm    (2) 94.85mm    (3) 96.65mm    (4) 98.85mm




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

포물선-직선 형상의 응력-변형률 관계를 이용하므로, 등가 직사각형 블록이 아닌 포물선-직선 응력블록의 압축합력 공식을 사용한다.

포물선-직선 응력블록의 압축합력 \[ C = \alpha \cdot 0.85 f_{ck} \cdot c \cdot b \]

\(f_{ck} \leq 40\text{ MPa}\)이므로 표 4.1-1에서 \(\alpha = 0.8\), \(\beta = 0.40\)

① 힘의 평형 (\(C = T\))으로 \(c\) 산정: \[ \alpha \cdot 0.85 f_{ck} \cdot c \cdot b = A_s f_y \] \[ c = \frac{A_s f_y}{\alpha \cdot 0.85 f_{ck} \cdot b} = \frac{1{,}161 \times 400}{0.8 \times 0.85 \times 24 \times 300} = \frac{464{,}400}{4{,}896} \approx 94.85 \text{ mm} \]

[참고] 등가 직사각형 블록(\(\eta = 1\))으로 계산하면?

등가 직사각형 블록에서는 \(a = \beta_1 c\)이며, 힘의 평형은 \(\eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b = A_s f_y\)이다. \(f_{ck} \leq 40\text{ MPa}\)에서 \(\eta = 1\), \(\beta_1 = 0.80\)이므로

\[ a = \frac{A_s f_y}{\eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot b} = \frac{1{,}161 \times 400}{1 \times 0.85 \times 24 \times 300} = \frac{464{,}400}{6{,}120} = 75.88 \text{ mm} \] \[ c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{75.88}{0.80} = 94.85 \text{ mm} \]

두 방법 모두 동일한 \(c = 94.85\text{ mm}\)를 얻는다. 다만 이 문제는 포물선-직선 응력블록을 명시하였으므로 첫 번째 풀이가 적합하다.

[답] 2   (94.85 mm)

[예제] 균형철근량 (2022년 토목기사)

폭이 300mm, 유효깊이가 500mm인 단철근직사각형 보에서 강도설계법으로 구한 균형 철근량은?

(단, 등가 직사각형 압축응력블록을 사용하며, \(f_{ck} = 35\text{ MPa}\), \(f_y = 350\text{ MPa}\) 이다.)

① 5,285 mm²    ② 5,890 mm²    ③ 6,665 mm²    ④ 7,235 mm²




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

① 재료 상수 확인

• 콘크리트 극한변형률: \(\varepsilon_{cu} = 0.0033\)

• 철근 탄성계수: \(E_s = 200{,}000\text{ MPa}\)

• 철근 항복변형률: \(\varepsilon_y = \dfrac{f_y}{E_s} = \dfrac{350}{200{,}000} = 0.00175\)

• \(f_{ck} = 35\text{ MPa} \leq 40\text{ MPa}\) 이므로: \(\eta = 1.0\), \(\beta_1 = 0.80\)

② 균형 중립축 깊이 \(c_b\) (변형률 적합 조건)

균형변형률 상태란 콘크리트 극한변형률과 철근 항복변형률이 동시에 도달하는 상태이다.

\[ \begin{aligned} c_b &= \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_y} \times d \\ &= \frac{0.0033}{0.0033 + 0.00175} \times 500 \\ &= \frac{0.0033}{0.00505} \times 500 \\ &= 326.7 \text{ mm} \end{aligned} \]

③ 균형 등가응력블록 깊이 \(a_b\)

\[ a_b = \beta_1 \cdot c_b = 0.80 \times 326.7 = 261.4 \text{ mm} \]

④ 균형철근량 \(A_{s,b}\) (힘의 평형: \(C = T\))

\[ \begin{aligned} C &= T \\ \eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot b \cdot a_b &= A_{s,b} \cdot f_y \\[6pt] A_{s,b} &= \frac{\eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot b \cdot a_b}{f_y} \\[6pt] &= \frac{1.0 \times 0.85 \times 35 \times 300 \times 261.4}{350} \\[6pt] &= \frac{2{,}332{,}485}{350} \\[6pt] &= 6{,}664 \approx 6{,}665 \text{ mm}^2 \end{aligned} \]

[답] ③ \(A_{s,b} \approx 6{,}665\text{ mm}^2\)

[예제] 균형 단면의 중립축 깊이 \(c_b\) (2022년 토목기사)

유효깊이가 600mm인 단철근 직사각형 보에서 균형 단면이 되기 위한 압축연단에서 중립축까지의 거리는?

(단, \(f_{ck} = 28\text{ MPa}\), \(f_y = 300\text{ MPa}\), 강도설계법에 의한다.)

① 494.5 mm     ② 412.5 mm     ③ 390.5 mm     ④ 293.5 mm




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

① 재료 상수 확인

• 콘크리트 극한변형률: \(\varepsilon_{cu} = 0.0033\)

• 철근 탄성계수: \(E_s = 200{,}000\text{ MPa}\)

• 철근 항복변형률: \(\varepsilon_y = \dfrac{f_y}{E_s} = \dfrac{300}{200{,}000} = 0.0015\)

② 균형 중립축 깊이 \(c_b\) (변형률 적합 조건)

균형변형률 상태란 압축연단의 콘크리트가 극한변형률 \(\varepsilon_{cu} = 0.0033\)에 도달함과 동시에 인장철근이 항복변형률 \(\varepsilon_y\)에 도달하는 상태이다. 변형률이 선형으로 분포하므로 닮은꼴 삼각형을 이용한다.

\[ \frac{c_b}{\varepsilon_{cu}} = \frac{d}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_y} \;\Rightarrow\; c_b = \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_y} \times d \] \[ c_b = \frac{0.0033}{0.0033 + 0.0015} \times 600 = \frac{0.0033}{0.0048} \times 600 = 0.6875 \times 600 = 412.5 \text{ mm} \]

[답] ② \(c_b = 412.5\text{ mm}\)

[예제] 설계휨모멘트 – 집중활하중 (2015년 공무원 9급, 토목설계)

양단 고정단보 지간 중앙에 집중 활하중 \(P\)만 작용한다. 단철근 보에 작용 가능한 최대 집중활하중의 크기 \(P\)[kN]는?

(단, 인장지배단면, 고정하중 무시, \(A_s = 1{,}000\text{mm}^2\), \(f_y = 400\text{MPa}\), \(f_{ck} = 30\text{MPa}\), \(d = 450\text{mm}\), \(a = 100\text{mm}\), \(L = 8.5\text{m}\), 강도감소계수 \(\phi = 0.85\), 활하중계수 \(\gamma = 1.6\))



(1) 50    (2) 80    (3) 120    (4) 160




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

(1) \(M_u\) (계수모멘트):
양단 고정단보 중앙 집중하중의 최대 모멘트: \(M_{max} = \dfrac{PL}{8}\) \[ M_u = 1.6 M_{max} = 1.6 \times \frac{PL}{8} = \frac{PL}{5} \]

[Note] 보의 중앙 집중하중 모멘트

① 양단이 힌지일 경우: 중앙모멘트 \(M_c = \dfrac{PL}{4}\), 양단모멘트 \(M_a = M_b = 0\)

② 양단이 고정일 경우: 중앙모멘트 \(M_c = \dfrac{PL}{8}\), 양단모멘트 \(M_a = M_b = -\dfrac{PL}{8}\)



(2) \(M_d\) (설계휨모멘트): \[ \begin{aligned} M_d &= \phi A_s f_y \left(d - \frac{a}{2}\right) \\ &= 0.85 \times 1{,}000 \times 400 \times \left(450 - \frac{100}{2}\right) \\ &= 136{,}000{,}000 \text{ N·mm} \end{aligned} \]

(3) \(M_u = M_d\): \[ \begin{aligned} \frac{PL}{5} &= 136{,}000{,}000 \;\Rightarrow\; P \\ &= 136{,}000{,}000 \times \frac{5}{L} \\ &= 136{,}000{,}000 \times \frac{5}{8{,}500} \\ &= 80{,}000 \text{ N} \\ &= 80 \text{ kN} \end{aligned} \]

[답] 2

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5.6 예제: 배근 상세

5.6.1 단순보 (굽힘/절곡철근 vs 절단)

단순보의 주철근 배근 방식에는 철근을 절곡(굽힘)하는 방법과 절단(curtailment)하는 방법이 있다.

▶ 절곡철근을 사용한 단순보

① 하면 주근 2-D16

② 상면 주근 2-D16

③ 상하면 3-D14 굽힘철근

④ 전단철근(스터럽): 양단 D8@100mm, 중앙 D8@200mm

⑤ 거푸집(shuttering) 작업과 콘크리트 타설

[Note] 한국과 일본에서는 14mm 대신 13mm 철근을 생산하고 설계에 반영한다.




▶ 철근 절단(curtailment)을 사용한 단순보

① 하면 거푸집 후 하면 주근 2-D16

② 상면 주근 2-D16

③ 양단 상면 3-D16 철근 추가, 중앙 하면 3-D16 철근 추가

④ 전단철근(스터럽): 양단 D8@100mm, 중앙 D8@25mm

⑤ 거푸집(shuttering) 작업과 콘크리트 타설

[과제] 안전성 검토

[설계] 보의 안전성 검토 (출처: 박정현 등, 2019 → 수정: 2021)

다음 그림과 같은 등분포하중을 받는 단순보 B1의 인장철근이 4-D22일 때, 보의 안전성을 검토하라.

• \(w_d\)(자중 포함) = 7.0 kN/m², \(w_l\) = 3.0 kN/m²
• \(f_{ck}\) = 24 MPa, \(f_y\) = 400 MPa
• 스팬(span) = 8m, 보 간격(bay) = 3m
• 4-D22 철근의 단면적 \(A_s = 1{,}548\text{ mm}^2\), 보의 전단철근: D10






[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

(1) 모멘트 산정

\[ w_d = 7.0 \times 3 = 21 \text{ kN/m}, \quad w_l = 3.0 \times 3 = 9 \text{ kN/m} \] \[ w_u = 1.2 w_d + 1.6 w_l = 1.2 \times 21 + 1.6 \times 9 = 39.6 \text{ kN/m} \] \[ M_u = \frac{1}{8} w_u l^2 = \frac{1}{8} \times 39.6 \times 8^2 = 316.8 \text{ kN·m} \]

(2) 극한상태에서 보강철근이 항복한다고 가정

\[ \varepsilon_s \geq \varepsilon_y \;\Rightarrow\; f_s = f_y \] \[ T = A_s f_y = 1{,}548 \times 400 = 619{,}200 \text{ N} \]

(3) 힘의 평형으로 등가응력깊이 \(a\) 계산

\[ C = T \;\Rightarrow\; \eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b = A_s f_y \] \[ a = \frac{619{,}200}{1 \times 0.85 \times 24 \times 350} = 86.72 \text{ mm} \]

(4) 최외단 인장철근의 변형률 및 강도감소계수 검토

\[ \beta_1 = 0.80 \;\Rightarrow\; c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{86.72}{0.80} = 108.4 \text{ mm} \] \[ d = d_t = 600 - 40 - 10 - \frac{22}{2} = 539 \text{ mm} \] \[ \begin{aligned} \varepsilon_t &= 0.0033 \times \frac{d_t - c}{c} \\ &= 0.0033 \times \frac{539 - 108.4}{108.4} \\ &= 0.0131 > \varepsilon_{a,min} \;\rightarrow\; \text{O.K} \end{aligned} \] \[ \varepsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{400}{200{,}000} = 0.002 \]

공칭강도에 도달하였을 때 \(\varepsilon_t (= 0.0131) > 0.005\) → 인장지배단면이며 연성파괴 가정 합당 → \(\phi = 0.85\)

(5) \(M_n\) (공칭휨모멘트)

\[ \begin{aligned} M_n &= T \left(d - \frac{a}{2}\right) \\ &= 619{,}200 \times \left(539 - \frac{86.72}{2}\right) \\ &= 306{,}900{,}288 \text{ N·mm} \approx 306.9 \text{ kN·m} \end{aligned} \]

(6) \(\phi M_n\) (설계모멘트)

\[ \phi M_n = 0.85 \times 306.9 = 260.87 \text{ kN·m} \]

(7) 안전성 검토

\[ M_u (= 316.8 \text{ kN·m}) > \phi M_n (= 260.87 \text{ kN·m}) \]

∴ N.G — 현재의 배근(4-D22)으로 소요강도에 대하여 만족하지 못한다. 단면을 증가시키거나 철근량을 증가시켜 소요강도에 만족하도록 재설계해야 한다.




[Excel 절차] 설계휨모멘트 계산

1. 재료 입력: \(f_{ck}\), \(f_y\)

2. 단면 입력: 단면크기 \(b \times h\), 주근 직경(\(d_{mb}\))·단면적(\(A_{mb}\)), 스터럽 직경(\(d_{st}\)), 피복두께 \(t_c = 40\text{mm}\) (가정)

3. 유효춤(유효깊이) 산정: \[ d = h - t_c - d_{st} - \frac{d_{mb}}{2} \]

4. 주철근 설정: 주철근 개수 \(n_{mb}\), 인장철근면적 \(A_s = A_{mb} \cdot n_{mb}\)

5. 철근의 인장력: \(T = A_s \cdot f_y\)

6. 등가응력블록 깊이: \[ a = \frac{T}{\eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot b} \]

7. 순인장변형률: \[ \varepsilon_t = \frac{d - x}{x} \cdot 0.0033 \]

8. 강도감소계수: \[ \phi = 0.65 + (\varepsilon_t - 0.002) \cdot \frac{200}{3}, \quad 0.65 \leq \phi \leq 0.85 \]

9. 설계모멘트: \[ \phi M_n = \phi T \cdot \left(d - \frac{a}{2}\right) \]

[Excel 예제 2.1] 설계휨모멘트 (참조: 이영욱, 송진규, 엑셀을 이용한 철근콘크리트 설계, 동화기술, 2012)

공칭휨모멘트 계산절차에 따라 인장철근 6-D19인 장방형 단근보의 공칭휨모멘트를 엑셀을 이용하여 계산하라.

• 콘크리트 강도: 24 MPa, 철근 강도: 400 MPa
• 주철근: D19, 스터럽: D10, 보 단면 크기: 300 × 600, 피복두께: 4cm

주요 셀 수식: [Formula]



셀	수식	설명
E8	=VLOOKUP(D8,$H$6:$J$11,2)	철근의 직경 조회
F8	=VLOOKUP(D8,$H$6:$J$11,3)	철근의 단면적 조회
D11	=D6-D10-E9-E8/2	유효춤 산정
D12	=IF(D3<28,0.85,IF(D3>53,0.65,0.85-0.007*(D3-28)))	\(\beta_1\) 산정
D15	=D14*F8	철근 면적 계산
D17	=D15*D4/10	철근의 인장력 (kN)
D19	=D15*D4/(0.85*D3*D5)	압축응력블록의 길이 \(a\)
D20	=D19/D12	중립축 길이 \(c\)
D22	=(D11-D20)/D20*0.003	순인장변형률
D24	=IF(D22>0.005,0.85,IF(D22<0.002,0.65+(D22-0.002)*200/3))	강도감소계수 \(\phi\)
D26	=D17*(D11-D19/2)/100	공칭휨모멘트
D28	=D26*D24	설계휨모멘트 (\(\phi M_n\))

[Excel 예제 2.2] 설계휨모멘트 (계속) – 철근 개수 변화에 따른 모멘트 곡선

앞 예제의 결과를 이용하여 철근 개수의 변화에 따른 공칭 휨 모멘트의 변화를 그래프로 나타내라.

• B15:B24까지 철근 개수 2개~11개 입력
• C열~J열: 철근 개수에 따른 단계 5~9 계산 수식

주요 셀 수식 (15행 기준): [Formula]





셀	수식	설명
C15	=B15*$F$8	철근 면적
D15	=C15*$D$4/10	철근의 인장력
E15	=D15/(0.85*$D$3/10*$D$5)	응력블록 길이
F15	=D15*($D$11-E15/2)/100	공칭휨모멘트
G15	=E15/$D$12	중립축까지의 거리
H15	=($D$11-G15)/G15*0.003	순인장변형률
I15	=IF(H15>0.005,0.85,0.65+(H15-0.002)*200/3)	\(\phi\) 산정
J15	=I15*F15	허용 최대 휨모멘트




[결론] 철근의 개수에 따라 휨모멘트는 증가하지만 선형적인 비례관계가 아니다. 이는 철근 단면적의 증가에 따라 \(\phi\)의 값이 감소하기 때문이다.

[Excel 예제 2.3] 철근 강도 vs 설계휨모멘트

사용하는 철근의 강도가 240 MPa과 400 MPa인 경우의 공칭휨모멘트 비교곡선을 그려라.

(단, 보 단면 크기: 300 × 600, 주철근 D19, 스터럽 D10, 피복두께 4cm, 콘크리트 강도 27 MPa)

[Formula]




[결론] 철근의 강도가 240 MPa에서 400 MPa로 변화함에 따라 휨모멘트가 크게 증가하나, 철근의 개수가 증가함에 따라 증가비율은 감소한다. 이는 철근의 강도가 큰 경우에 \(\phi\)의 값이 빨리 작아지기 때문이다.

[KCI 예제] 제4장 휨부재의 설계

(참조: 한국콘크리트학회, 콘크리트구조 학회기준 예제집, 기문당, 2020.12.)

[KCI 2020 Ch04 휨부재.pdf]

[예제] KCI 예제

[KCI 예제] 단철근 직사각형 단면보의 설계-I




폭 250 mm와 유효깊이 440 mm를 가진 직사각형 단면보가 3개의 D22 인장철근으로 보강되어 있을 때 설계휨강도를 계산하라.

• 콘크리트 설계기준 압축강도: \(f_{ck} = 30\text{ MPa}\)
• 철근의 설계기준 항복강도: \(f_y = 400\text{ MPa}\)
• 3-D22: \(A_s = 3 \times 387.1 = 1{,}161.3\text{ mm}^2\)




[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa

① 등가응력블록 깊이 \(a\): \[ a = \frac{A_s f_y}{\eta \cdot 0.85 f_{ck} \cdot b} = \frac{1{,}161.3 \times 400}{1 \times 0.85 \times 30 \times 250} = 72.7 \text{ mm} \] (\(f_{ck} = 30\text{ MPa} \leq 40\text{ MPa}\)이므로 \(\eta = 1\), \(\beta_1 = 0.80\))

② 중립축 깊이 \(c\): \[ c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{72.7}{0.80} = 90.9 \text{ mm} \]

③ 순인장변형률 \(\varepsilon_t\): \[ \varepsilon_t = 0.0033 \times \frac{d - c}{c} = 0.0033 \times \frac{440 - 90.9}{90.9} = 0.0127 \] \(\varepsilon_t = 0.0127 > 0.005\) → 인장지배단면 → \(\phi = 0.85\)

④ 공칭휨모멘트 \(M_n\):

\[ \begin{aligned} M_n &= A_s f_y \left(d - \frac{a}{2}\right) \\ &= 1{,}161.3 \times 400 \times \left(440 - \frac{72.7}{2}\right) \\ &= 187{,}000{,}000 \text{ N·mm} \\ &= 187.0 \text{ kN·m} \\ \end{aligned} \]

⑤ 설계휨강도 \(\phi M_n\): \[ \phi M_n = 0.85 \times 187.0 = 158.9 \text{ kN·m} \]

[KCI 예제] 단철근 직사각형 단면보의 설계-II

계수하중에 의해 유발된 휨모멘트 $M_u = 200 \text{kN.m}$를 지지하기 위해 소요되는 철근량 $A_s$와 보의 단면을 결정하라

• 콘크리트 설계기준 압축강도: \(f_{ck} = 30\text{ MPa}\)
• 철근의 설계기준 항복강도: \(f_y = 400\text{ MPa}\)

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