제6장 복철근 직사각형 보의 휨설계

KDS 14 20 10 콘크리트구조 해석과 설계 원칙
KDS 14 20 20 콘크리트구조 휨 및 압축 설계기준
KDS 24 10 11 교량 설계 일반사항(한계상태설계법)

6.1 압축철근을 사용하는 목적

6.1.1 단철근 보 vs 복철근 보

• 단철근 보(singly reinforced beam): 직사각형 보가 휨을 받을 때 인장측에만 철근을 배근한 보

• 복철근 보(doubly reinforced beam): 인장측과 압축측에 동시에 철근을 배근한 보

Table 6.1.1 단철근 보와 복철근 보 비교

구분	단철근 보 (Singly Reinforced Beam)	복철근 보 (Doubly Reinforced Beam)
철근 배치	인장측만 배근	인장측 + 압축측 배근
기호	\(A_s\)	\(A_s\) (인장), \(A_s'\) (압축)
적용	일반적인 경우	단면 제한, 강도 증가 필요 시

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6.1.2 복철근 보를 사용하는 이유

▷ 단면의 크기를 줄이기 위함인가? No!!

 • 직사각형 보가 휨을 받을 때 인장측에만 철근을 배근하는 단철근 보와는 달리 복철근 보는 인장측과 압축측에 동시에 철근을 배근한 보를 의미한다.

 • 강도설계법에서는 철근콘크리트가 받을 수 있는 압축응력을 콘크리트의 압축강도를 기준으로 하므로, 부재의 강도를 증가시키기 위해 압축측에 철근을 배근하여 보 단면의 크기를 줄이는 경우는 드물다.

 • 만일 보 단면의 크기를 줄이기 위해 압축철근을 사용한다면
(1) 단면의 축소에 따른 보의 처짐이 증가하고,
(2) 전단응력이 증가하여 많은 양의 전단 보강근을 필요하므로
오히려 더 큰 문제를 야기할 수도 있다.




▷ 휨강도를 키우기 위함인가? Yes!!

 • 주어진 단면에서 인장철근을 인장지배단면의 한계치(최소 허용변형률 또는 최대철근비 \(\rho_{max}\))까지 배근해도 설계 휨모멘트(\(\phi M_n\))가 소요 휨모멘트(\(M_u\))보다 작을 경우 압축철근을 넣어 복철근 보로 설계하는 것이 일반적이다.




▷ 복철근 효과

 • 크리프와 건조수축으로 인한 장기변형이나 지속하중에 대한 처짐을 감소시켜 준다.

 • 연성(ductility)을 증가시켜 준다.

 • 연성파괴로의 파괴양상을 변화시켜 준다.

 • 전단철근 등의 배치가 용이하여 시공성의 향상을 도모할 수 있다.

 • 보의 높이가 제한된 경우 강성(stiffness)의 증진이 필요할 때, 압축철근을 사용할 수 있다.

이러한 이유로 철근콘크리트 골조의 주요한 보는 대부분 복철근 보로 설계한다. 또한 국부적으로 하중이 크게 작용하여 주변과 다른 크기의 부재가 설계될 경우, 강도를 증가시킬 목적으로 사용하기도 한다.

[예제] 압축철근의 목적

[예제] 압축철근의 목적 (2019년 공무원 9급, 토목설계)

복철근 직사각형보에서 압축철근의 배치목적이 아닌 것은? 단, 보는 정모멘트(＋)만을 받고 있다.

(1) 전단철근 등 철근 조립 시 시공성 향상

(2) 크리프 현상에 의한 처짐량을 감소

(3) 보의 연성거동을 감소

(4) 보의 압축에 대한 저항성을 증가

[풀이]

복철근은 연성파괴로의 파괴양상을 변화시켜 준다. 즉, 연성거동을 증가시킨다.

[답] 3

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6.2 가정

6.2.1 해석 가정

 • 평면 단면은 휨이 발생한 후에도 평면이다.

 • 철근과 콘크리트의 변형률(\(\varepsilon\))은 중립축으로부터의 거리에 비례한다.

 • 같은 위치에 있는 콘크리트의 변형률(\(\varepsilon_c\))과 철근의 변형률(\(\varepsilon_s\))은 동일하다.

 • 콘크리트 응력 \(f_c\)와 철근 응력 \(f_s\)는 각각의 응력($f$)-변형률($\varepsilon$) 곡선에서 구한다.

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6.2.2 설계 가정

 • 콘크리트 압축연단의 최대변형률(극한변형률; 파괴변형률)은 \(\varepsilon_{cu} = 0.33\%\)이다.



 • 콘크리트의 인장강도는 무시한다. (단, PS 콘크리트는 콘크리트의 인장강도를 고려한다)

 • 철근의 응력-변형률 관계는 완전 탄소성 거동으로 가정한다.



 • 극한상태(\(\varepsilon_{cu} = 0.33\%\))에서 콘크리트의 압축 응력상태는 포물선, 사다리꼴 또는 직사각형 분포로 가정할 수 있다.



 • 철근의 탄성계수 \(E_s = 200{,}000\) MPa (즉, \(E_s = 200\) GPa)이며, 철근의 응력이 설계기준항복강도 \(f_y\) 이하일 때, 철근의 응력(\(f_s\))은 그 변형률(\(\varepsilon_s\))에 \(E_s\)를 곱한 값으로 한다. (즉, \(f_s = E_s \varepsilon_s\))

 • 철근의 변형률이 \(f_y\)에 대응하는 변형률보다 큰 경우, 철근의 응력은 변형률에 관계없이 \(f_y\)로 하여야 한다. (즉, \(f_s = f_y\))

압축철근 변형률과 항복 여부 판단:

1) 압축철근 위치에서의 변형률: \[ \begin{aligned} \varepsilon_s' &= \varepsilon_{cu} \cdot \frac{c - d'}{c} \\ &= 0.0033 \times \frac{c - d'}{c} \end{aligned} \] 2) 항복변형률: \[ \varepsilon_y = \frac{f_y}{E_s} \] 3) 항복 여부 판단:


\(\varepsilon_s' \geq \varepsilon_y\) : 압축철근 항복

\(\varepsilon_s' < \varepsilon_y\) : 압축철근 비항복

[예제] 유효깊이

[예제] 유효깊이 (2018년 토목기사)

그림과 같은 복철근 보의 유효깊이($d$)[mm]는? (단, 철근 1개의 단면적은 \(A_{s1} = 250 \text{ mm}^2\)이다)



(1) 810    (2) 780    (3) 770    (4) 730

[풀이] 계산 단위: mm

유효깊이(\(d\))는 인장철근들의 무게중심까지의 거리이다.

\[ \begin{aligned} d_1 &= 850 - 40 = 810 \text{ mm} \quad \text{(1단 철근, 5개)} \\ d_2 &= 850 - 80 - 40 = 730 \text{ mm} \quad \text{(2단 철근, 3개)} \end{aligned} \] \[ \therefore d = \frac{5 \times d_1 + 3 \times d_2}{3 + 5} = \frac{5 \times 810 + 3 \times 730}{8} = 780 \text{ mm} \]

[답] 2

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6.3 보의 해석과 설계

6.3.1 응력 블록

보의 설계 모멘트 \(M_d\)를 계산하기 위해 다음 세 가지를 계산한다.

(1) 인장응력의 합력(\(T\))

인장응력의 합은 콘크리트의 인장저항능력은 무시하므로 중립축 이하에서는 철근만 인장력을 부담하여 극한상태에서 인장력 \(T = A_s f_y\)가 된다.

(2) 압축응력의 합력(\(C\))

압축측에서 콘크리트의 응력 분포는 비선형이어서 압축응력의 합을 구하는 것과 이 합력의 중심을 구하는 것이 쉽지 않다. 이러한 이유로 응력 블록을 사각형이나 사다리꼴 형태로 바꾸는 것이 계산에 편리하다.

(3) 합력의 중심간 거리(\(jd\))



등가직사각형 응력블록 (KDS 기준, \(f_{ck} \leq 40\) MPa)

\[ \alpha = 0.8, \quad \beta = 0.4 \quad (= \beta_1 / 2 = 0.8/2) \] \[ \eta = 1.0 \quad (f_{ck} \leq 40 \text{ MPa인 경우}) \] 압축응력 강도: \(\eta \cdot 0.85 f_{ck} = 0.85 f_{ck}\)

등가블록 깊이: \(a = \beta_1 c = 0.8c\)

콘크리트 압축력: \(C_c = 0.85 f_{ck} \cdot b \cdot a\)

압축철근 응력합력: \(C_s = A_s'(f_s' - 0.85 f_{ck})\)

인장력: \(T = A_s f_y\)

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6.3.2 단면의 응력상태와 내력

복철근 보의 분리 개념

복철근 보 = 단철근 보 (인장철근 \(A_s - A_s'\)) + 압축철근 쌍 (\(A_s'\))



▷ 압축철근이 항복할 경우



압축철근이 항복할 경우, 압축철근의 응력은 다음과 같다.

\[ f_s = f_y \] \[ \color{orange}{f_s' = f_y} \]

(1) 중립축까지의 거리 \(c\)

\[ C_c + C_s = T \] \[ \rightarrow \alpha(0.85 f_{ck})bc + A_s'(f_y - 0.85 f_{ck}) = A_s f_y \] \[ \rightarrow c = \frac{A_s f_y - A_s'(f_y - 0.85 f_{ck})}{\alpha(0.85 f_{ck})b} \]

(2) \(M_n\)(공칭휨모멘트)와 \(M_d\)(설계휨모멘트) 산정

\[ M_n = C_c(d - \beta c) + C_s(d - d') \] \[ = \alpha(0.85 f_{ck})bc \times (d - \beta c) + A_s'(f_y - 0.85 f_{ck}) \times (d - d') \]

또는

\[ = (A_s - A_s')f_y \times (d - \beta c) + A_s'(f_y - 0.85 f_{ck}) \times (d - d') \] \[ M_d = \phi M_n \]



▷ 압축철근이 항복하지 않을 경우



압축철근이 항복하지 않을 경우, 압축철근의 응력은 다음과 같다.

\[ f_s = f_y \] \[ \color{orange}{f_s' < f_y} \]

(1) 중립축까지의 거리 \(c\)

\[ C_c + C_s = T \] \[ \rightarrow \alpha(0.85 f_{ck})bc + A_s'\left(E_s \times 0.0033 \cdot \frac{c - d'}{c} - 0.85 f_{ck}\right) = A_s f_y \]

→ \(c\)에 관한 2차 방정식을 풀어 \(c\)를 구한다.

(2) \(M_n\)(공칭휨모멘트)와 \(M_d\)(설계휨모멘트) 산정

\[ M_n = C_c(d - \beta c) + C_s(d - d') \] \[ = \alpha(0.85 f_{ck})bc \times (d - \beta c) + A_s'(f_s' - 0.85 f_{ck}) \times (d - d') \]

또는

\[ = (A_s - A_s')f_y \times (d - \beta c) + A_s'(f_s' - 0.85 f_{ck}) \times (d - d') \] \[ M_d = \phi M_n \]

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6.3.3 설계절차

(1) 단철근보 최대설계모멘트(\(\phi M_{n1}\)) 산정

\(f_{ck} \leq 40\) MPa인 경우, \(\alpha = 0.8\), \(\beta = 0.4\), \(\varepsilon_{cu} = 0.0033\)

1) \[ \rho_s = \frac{\alpha(0.85 f_{ck})}{f_y} \cdot \frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu} + \varepsilon_t} \cdot \frac{d_t}{d} \] 여기서 \(\varepsilon_t = \max[0.005,\ 2.5\varepsilon_y]\), \(\dfrac{d_t}{d} \approx 1\) 가정

2) \(A_{s1} = \rho_s b d\)

3) \(c = \dfrac{A_{s1} f_y}{\alpha(0.85 f_{ck})b}\)

4) \[ \phi M_{n1} = \phi A_{s1} f_y (d - \beta c) \] 별해: \[ \phi M_{n1} = \phi \rho_s f_y b d^2 \left[1 - \frac{\beta \rho_s f_y}{\alpha(0.85 f_{ck})}\right] \]

5) 판단:

• \(\phi M_{n1} \geq M_u\)이면 → 단철근 보로 설계

• \(\phi M_{n1} < M_u\)이면 → 복철근 보로 설계




(2) 압축철근량 산정

1) \(\phi M_{n2} = M_u - \phi M_{n1}\)

2) 압축철근의 항복을 가정한다. \[ \phi M_{n2} = \phi A_{s2}(f_y - 0.85 f_{ck})(d - d') \] \[ A_{s2} = \frac{\phi M_{n2}}{\phi(f_y - 0.85 f_{ck})(d - d')} \]




(3) 철근 배근

1) \(A_s = A_{s1} + A_{s2}\)

2) \(A_s' = A_{s2} \quad (\geq A_s - A_{s1})\)




(4) 최소 허용변형률(\(\varepsilon_{a,min}\)) 검토

\(f_{ck} \leq 40\) MPa인 경우, \(\alpha = 0.8\), \(\beta = 0.4\), \(\varepsilon_{cu} = 0.0033\)

1) \(c\) 산정 (\(\varepsilon_s' \geq \varepsilon_y\) 가정) \[ c = \frac{A_s f_y - A_s'(f_y - 0.85 f_{ck})}{\alpha(0.85 f_{ck})b} \]

2) 압축철근 항복 검토 \[ \varepsilon_s' = \left(\frac{c - d'}{c}\right) \cdot \varepsilon_{cu} = \left(\frac{c - d'}{c}\right) \times 0.0033 \\ \geq \varepsilon_y \quad \rightarrow \text{ 압축철근 항복} \]

3) 최소 허용변형률 검토 \[ \varepsilon_t = \left(\frac{d_t - c}{c}\right) \cdot \varepsilon_{cu} = \left(\frac{d_t - c}{c}\right) \times 0.0033 \\ \geq \varepsilon_{a,min} = \max[0.005,\ 2.5\varepsilon_y] \quad \rightarrow \text{ 최소 허용변형률 만족} \]




(5) \(M_u \leq \phi M_n\) 검토

1) \(\phi\) 산정 \[ \phi = \phi_c + \frac{\phi_t - \phi_c}{\max[0.005,\ 2.5\varepsilon_y] - \varepsilon_y}(\varepsilon_t - \varepsilon_c) \\ \leq \phi_t \]

2) \(\phi M_n\) 산정 \[ \phi M_n = \phi \left[(A_s - A_s')f_y(d - \beta c) + A_s'(f_y - 0.85 f_{ck})(d - d')\right] \\ \geq M_u \quad \rightarrow \text{ 적합} \]




(6) 균열모멘트를 사용한 최소철근량 검토

1) \[ M_{cr} = f_r \cdot S = (0.63\lambda\sqrt{f_{ck}}) \cdot S \]

2) \[ 1.2 M_{cr} \leq \phi M_n \quad \rightarrow \text{ 최소철근량 만족} \]




(7) 보폭 적정성 검토




(8) 철근 간격의 적정성 검토

1) 종방향 철근의 중심간격 (균열폭 0.3 mm 기준) \[ s = 375\left(\frac{\kappa_{cr}}{f_s}\right) - 2.5c_c \quad \text{기준식 (4.2-3)} \] \[ s = 300\left(\frac{\kappa_{cr}}{f_s}\right) \quad \text{기준식 (4.2-4)} \]

2) 횡방향 철근의 중심간격

• ≤ 축방향 철근지름의 16배

• ≤ 띠철근 지름의 48배

• ≤ 단면의 최소 치수




(9) 배근도 작성

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[예제] 응력 블록

[예제] 응력블록의 깊이 (2018년 공무원 9급, 토목설계)

복철근 직사각형 보에서 인장철근과 압축철근이 모두 항복할 때, 등가직사각형 응력블록의 깊이 \(a\) [mm]는?
(단, \(A_s = 4{,}050 \text{ mm}^2\), \(A_s' = 1{,}500 \text{ mm}^2\), \(f_{ck} = 30 \text{ MPa}\), \(f_y = 300 \text{ MPa}\), \(b = 200 \text{ mm}\), \(d' = 50 \text{ mm}\), KDS 기준 적용)



(1) 125    (2) 150    (3) 175    (4) 200

[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa(= N/mm²)

\[ C = T \] \[ \rightarrow 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b + A_s' f_y = A_s f_y \] \[ \rightarrow a = \frac{f_y}{0.85 f_{ck}} \cdot \frac{A_s - A_s'}{b} = \frac{300}{0.85 \times 30} \cdot \frac{4{,}050 - 1{,}500}{200} = 150 \text{ mm} \]

[답] 2




[예제] 중립축까지 거리 (2018년 토목기사) → 수정: 230614

복철근 직사각형보에서 압축연단에서 중립축까지의 거리(\(c\))[mm]는?
(단, \(A_s = 4{,}764 \text{ mm}^2\), \(A_s' = 1{,}284 \text{ mm}^2\), \(f_{ck} = 38 \text{ MPa}\), \(f_y = 400 \text{ MPa}\), \(b = 300 \text{ mm}\), \(d = 550 \text{ mm}\), \(d' = 50 \text{ mm}\))



(1) 143.74    (2) 153.87    (3) 168.62    (4) 178.41

[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa(= N/mm²)

(1) 등가직사각형 깊이(\(a\))

인장철근과 압축철근이 모두 항복한다고 가정한다. 즉, \(\varepsilon_t > \varepsilon_y\) 및 \(\varepsilon_s' > \varepsilon_y\)
등가응력 \(\eta \cdot 0.85 f_{ck}\)에서 \(f_{ck} \leq 40\) MPa인 경우, \(\eta = 1\)

\[ 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b = (A_s - A_s') f_y \] \[ \rightarrow 0.85 \times 38 \times a \times 300 = (4{,}764 - 1{,}284) \times 400 \] \[ \rightarrow a = 143.7 \text{ mm} \]

(2) 중립축(\(c\))

\(f_{ck} \leq 50\) MPa인 경우, \(\beta_1 = 0.8\)

\[ a = \beta_1 c \quad \rightarrow \quad c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{143.7}{0.8} = 179.6 \text{ mm} \]

(3) 압축철근 항복 검토

\[ \varepsilon_s' = 0.0033 \times \frac{c - d'}{c} = 0.0033 \times \frac{179.6 - 50}{179.6} = 0.00238 \] \[ \varepsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{400}{200{,}000} = 0.002 \] \[ \varepsilon_s' = 0.00238 > \varepsilon_y = 0.002 \quad \rightarrow \text{ 항복! 가정 O.K!} \]

[답] 4 (\(c \approx 179.6\) mm, 답항 중 178.41에 해당)

[과제] 설계모멘트

[과제] 설계모멘트 (건축구조기술사, 2016) → 수정: 2021

다음 단순보의 설계모멘트(\(\phi M_n\))를 구하시오.

\(f_{ck} = 24\) MPa, \(f_y = 400\) MPa
단면 조건: \(b = 300\) mm, \(h = 600\) mm, \(d' = 62.5\) mm, \(d = 512.5\) mm
압축철근: 3-D25 (\(A_s' = 1{,}521 \text{ mm}^2\))  |  인장철근: 6-D25 (\(A_s = 3{,}042 \text{ mm}^2\))



[풀이] 계산 단위: N, mm → MPa (= N/mm²)



(1) 철근량 검토

1) 최소철근량(\(A_{s,min}\))

\[ \begin{aligned} 1.2 M_{cr} &= 1.2 \cdot \frac{f_r I_c}{y_2} \\ &= 1.2 \times \frac{0.63\sqrt{24} \times \dfrac{300 \times 600^3}{12}}{\dfrac{600}{2}} \\ &= 66.7 \times 10^6 \text{ N·mm} = 66.7 \text{ kN·m} \end{aligned} \]

→ \(\phi M_n \geq 1.2 M_{cr}\) 검토 필요

2) 최소허용변형률(\(\varepsilon_{a,min}\))

\[ \varepsilon_{a,min} = \max[0.004,\ 2\varepsilon_y] = 0.004 \]

(2a) 등가직사각형 깊이(\(a\)) — 항복 가정

인장철근과 압축철근이 모두 항복한다고 가정한다.
즉, \(\varepsilon_t > \varepsilon_y\) 및 \(\varepsilon_s' > \varepsilon_y\)
등가응력 \(\eta \cdot 0.85 f_{ck}\)에서 \(f_{ck} \leq 40\) MPa인 경우, \(\eta = 1\)

\[ 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b = (A_s - A_s') f_y \] \[ \rightarrow 0.85 \times 24 \times a \times 300 = (3{,}042 - 1{,}521) \times 400 \] \[ \rightarrow a = 99.4 \text{ mm} \]

(2b) 중립축(\(c\))

\(f_{ck} \leq 50\) MPa인 경우, \(\beta_1 = 0.8\)

\[ c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{99.4}{0.8} = 124.2 \text{ mm} \]

(2c) 압축철근 항복 검토

\[ \begin{aligned} \varepsilon_s' &= 0.0033 \times \frac{c - d'}{c} \\ &= 0.0033 \times \frac{124.2 - 62.5}{124.2} = 0.00163 \\ \varepsilon_y &= \frac{f_y}{E_s} = \frac{400}{200{,}000} = 0.002 \\ \varepsilon_s' &= 0.00163 < \varepsilon_y = 0.002 \quad \rightarrow \text{ 항복 안함! 가정 N.G!} \end{aligned} \]

(3a) \(a\)와 \(c\) 재산정 — 압축철근 비항복 가정

압축철근이 항복하지 않는다고 가정한다. 즉, \(\varepsilon_s' < \varepsilon_y\). 여기서 \(\varepsilon_s' = 0.0033 \times \dfrac{c - d'}{c}\)

\[ \begin{aligned} C_c &= 0.85 f_{ck} \cdot a \cdot b \\ &= 0.85 \times 24 \times (0.8c) \times 300 = 4{,}896c \\ C_s &= A_s' f_s' \\ &= 1{,}521 \times 200{,}000 \times 0.0033 \times \frac{c - 62.5}{c} \\ &= 1{,}003{,}860 \times \frac{c - 62.5}{c} \\ T &= A_s f_y = 3{,}042 \times 400 = 1{,}216{,}800 \text{ N} \end{aligned} \] \[ C_c + C_s = T \\ \quad \rightarrow \quad 4{,}896c = 1{,}216{,}800 - 1{,}003{,}860 \times \frac{c - 62.5}{c} \]

→ \(c\)에 관한 2차 방정식을 풀면:

\[ \therefore c = 137 \text{ mm}, \quad a = \beta_1 c = 0.8 \times 137 = 109.6 \text{ mm} \]

(3b) 인장철근 변형률(\(\varepsilon_t\))

\[ \begin{aligned} \varepsilon_t &= 0.0033 \times \frac{d_t - c}{c} \\ &= 0.0033 \times \frac{(600 - 62.5) - 137}{137} = 0.00964 \\ \varepsilon_t &= 0.00964 > \varepsilon_{a,min} = 0.004 \quad \rightarrow \text{ 최소허용 변형률 OK!} \end{aligned} \]

(4) 설계모멘트(\(\phi M_n\))

1) 강도감소계수(\(\phi\))

\[ \varepsilon_t = 0.00964 \geq 0.005 \quad \rightarrow \quad \phi = 0.85 \]

2) \(\phi M_n\)

\[ \begin{aligned} \phi M_n &= \phi \left[C_c \times \left(d - \frac{a}{2}\right) + C_s \times (d - d')\right] \\ &= 0.85 \left[4{,}896 \times 137 \times \left(512.5 - \frac{109.6}{2}\right)\right. \\ &\quad \left. + 1{,}003{,}860 \times \frac{137 - 62.5}{137} \times (512.5 - 62.5)\right] \\ &= \boxed{469.7 \text{ kN·m}} \end{aligned} \]



[Excel 절차] 설계휨모멘트 계산

1. 재료 입력: \(f_{ck}\), \(f_y\)

2. 단면 입력

단면크기: \(b \times h\)
주근: 직경(\(d_{mb}\)), 단면적(\(A_{mb}\))
스터럽: 직경(\(d_{st}\))
피복 두께: \(t_c = 40\) mm (가정)

3. 유효춤(유효깊이) 산정 \[ d = h - t_c - d_{st} - \frac{d_{mb}}{2} \]

4. 압축철근 설정: 압축철근 개수(가정) \(n_c \rightarrow A_s'\)

5. 인장철근 설정: 인장철근 개수(가정) \(n_t \rightarrow A_s\)

다음 STEP 8 조건을 만족할 때까지 STEP 6 ~ STEP 8을 반복

\(\sum F \geq 0\) → \(c\)를 감소
\(\sum F < 0\) → \(c\)를 증가

6. 중립축 길이: 중립축의 길이 \(c\) (가정)

7. 압축과 인장력의 계산 \[ \varepsilon_s' = \frac{c - d'}{c} \cdot 0.0033 \] \[ C_s = \begin{cases} A_s' f_y & \text{for } \varepsilon_s' \geq \varepsilon_y \\ A_s'(E_s \varepsilon_s') & \text{for } \varepsilon_s' < \varepsilon_y \end{cases} \] \[ C_c = 0.85 f_{ck}(ba - A_s') \] \[ T = A_s f_y \]

8. 평형조건의 검토 \[ \sum F = C_c + C_s - T \leq \text{허용치} \]

9. 설계모멘트 \[ \varepsilon_t = \frac{d - c}{c} \cdot 0.0033 \] \[ \phi = 0.65 + (\varepsilon_t - 0.002) \cdot \frac{200}{3} \quad \text{여기서 } 0.65 \leq \phi \leq 0.85 \] \[ \phi M_n = \phi \left[C_c \left(d - \frac{a}{2}\right) + C_s(d - d')\right] \]




[Excel 예제] 설계휨모멘트 (참조: 이영욱, 송진규, 엑셀을 이용한 철근콘크리트 설계, 동화기술, 2012)

압축철근 3-D19, 인장철근 6시기9인 장방형 복근보의 공칭휨모멘트를 엑셀을 이용하여 계산하라. 장방형 복근보의 허용 휨모멘트의 관계곡선을 그려라. 콘크리트의 강도는 24 MPa, 철근의 강도는 400 MPa이다. 사용하는 스터럽은 D10을 사용한다. 단, 보 단면의 크기는 300×600이고 피복두께는 4 cm이다.

주요 셀 수식: [Formula]



셀	수식	설명
E8	=VLOOKUP(D8,$H$6:$J$11,2)	D8 셀에 해당하는 철근의 직경을 찾아서 읽음
F8	=VLOOKUP(D8,$H$6:$J$11,3)	D8 셀에 해당하는 철근의 단면적을 찾아서 읽음
E9	=VLOOKUP(D9,$H$6:$J$11,2)	D9 셀에 해당하는 철근의 직경을 찾아서 읽음
F9	=VLOOKUP(D9,$H$6:$J$11,3)	D9 셀에 해당하는 철근의 단면적을 찾아서 읽음
D11	=D6-D10-E9-E8/2	유효춤 산정
G11	=D10+E9+E8/2	압축단부에서 압축철근 중심까지 거리
D13	=IF(D3<50,0.8,IF(D3=60,0.76,IF(D3=70,0.74,IF(D3=80,0.72,0.7))))	\(\beta_1\)의 산정
D14	=G14*F9	\(A_s'\)의 계산
C17	=K17	처음 확인 후 자동 반복계산으로 설정
D17	=C17*$D$13	등가블록길이 \(a\)의 계산
E17	=(C17-$G$11)/C17*0.003	압축철근의 변형도
F17	=IF(E17>=$D$15,$D$4,E17*200000)	압축철근의 응력
G17	=F17*$D$14/10	압축철근의 단면력 (kN)
H17	=0.85*$D$3*($D$5*D17-$D$14)/10	압축콘크리트의 단면력
I17	=B17*$D$4/10	인장철근의 단면력
J17	=G17+H17-I17	단면에 작용하는 힘의 합 (\(\sum F\))
K15	=1.0	중립축 이동값 (del); 0.001 등으로 수렴 조정
K17	=IF(J17>0,C17-$K$15,C17+$K$15)	평형조건으로 중립축 위치 자동 이동
L17	=(G17*($D$11-$G$11)+H17*($D$11-D17/2))/100	공칭휨모멘트 계산
M17	=($D$11-C17)/C17*0.003	인장철근의 변형도
N17	=IF(M17>0.005,0.85,IF(M17<0.002,0.65,0.65+(M17-0.002)*200/3))	강도감소계수 \(\phi\)
O17	=N17*L17	\(\phi M_n\) (설계휨모멘트)

+ 분홍색 셀은 사용자가 텍스트로 입력하는 셀을 나타내며, 하늘색 셀은 엑셀에서 자동 계산하도록 수식을 입력하는 셀이다.
+ 단계 3까지는 단근보 예제와 동일하므로 앞의 결과를 그대로 복사하여 사용한다.
+ 단계 4에 압축철근의 개수와 단면적을 산정한다.



[해설] 반복계산

엑셀에서 반복계산을 할 경우에 반복계산 옵션을 사용한다. 본 수식 K17은 C17을 사용하고, C17은 K17을 사용한다. 따라서 논리적으로 순환되는 경우이다. 이러한 경우에 반복되는 회수를 지정하여 계산을 수행할 수 있다. 지정하는 방법은 엑셀 옵션으로 가서 '수식(Formulas)' → '계산옵션(Calculation option)'을 선택한 후 '반복계산 사용(Enable iterative calculation)'을 체크하고 '반복 횟수(Maximum Iterations)' 및 '변화한도값(Maximum Change)'을 설정한다.






[Excel 예제] 단근보 vs 복근보

[참조] 이영욱, 송진규, 엑셀을 이용한 철근콘크리트 설계, 동화기술, 2012

<예제 2.2>의 단근보의 결과와 <예제 2.5>의 복근보 결과를 함께 그래프로 나타내보자.

주요 셀 수식: [Formula]

<예제 2.3>과 같이 2개의 그림을 하나로 나타내고자 한다. 그렇게 하기 위하여 <예제 2.4>의 그림을 선택하여 복사(Ctrl-C)하고 <예제 2.2>의 그림을 선택하여 붙여넣기(Ctrl-V)를 수행하면 <예제 2.5>의 그림과 같은 차트가 된다. 차트를 선택한 후에 레이아웃에서 범례를 선택하여 두 가지 경우를 구분한다.



+ 철근의 개수가 6개 이하에서는 거의 동일한 휨내력을 보여 준다. 그러나 복근보의 경우 단근보의 경우보다 철근이 증가할수록 휨내력이 크게 나타났다. 이는 압축철근에 의해 중립축까지의 거리 \(x\)가 감소하여 모멘트팔길이가 증가하였기 때문이다.

[예제] KCI 예제

[KCI 예제] 제4장 휨부재의 설계

[참조] 한국콘크리트학회, 콘크리트구조 학회기준 예제집, 기문당, 2020.12.

[KCI 2020 Ch04 휨부재.pdf]




예제 4.3 복철근 직사각형 단면보의 설계-I

그림과 같이 보의 단면 크기가 제한된다. 계수하중에 의한 단면 휨모멘트 \(M_u = 600\) kN·m를 지지하기 위해 소요되는 철근량을 구하라.

• 콘크리트설계기준 압축강도: \(f_{ck} = 30\) MPa

• 철근의 설계기준 항복강도: \(f_y = 400\) MPa

• 단면: \(b = 300\) mm, \(d = 570\) mm, \(d_t = 600\) mm, \(d' = 64\) mm

→ 단면 크기가 제한될 때 단철근으로 부족하면 압축철근 추가 (복철근 보 설계절차 적용)






예제 4.4 복철근 직사각형 단면보의 설계-II

그림과 같이 보의 단면 크기가 제한되어 있다. 계수하중에 의한 단면 휨모멘트 \(M_u = 500\) kN·m를 지지하기 위해 필요로 하는 소요철근량을 구하라.

• 콘크리트설계기준 압축강도: \(f_{ck} = 30\) MPa

• 철근의 설계기준 항복강도: \(f_y = 400\) MPa

• 단면: \(b = 300\) mm, \(d = 470\) mm, \(d_t = 500\) mm, \(d' = 85\) mm

→ 위와 동일한 설계절차 적용. 단면 크기 제한으로 인해 복철근 보 설계 필요 여부를 검토한다.

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