5장 동적 계측: 가속도 및 진동 모니터링

Chapter 5. Dynamic Measurement: Acceleration and Vibration Monitoring
| 스마트 인프라의 계측 개론 | 건설환경공학과 대학원

1. 학습 목표

본 강의를 마친 후 학생은 다음을 수행할 수 있다.

• 구조동역학의 운동방정식을 유도하고 단자유도계(SDOF)의 자유진동 응답 및 강제 진동 응답을 계산할 수 있다.
• 다자유도계의 고유진동수와 모드 형상을 이론적으로 이해하고, 실험모드해석(EMA) 및 운전모드해석(OMA)을 구분하여 설명할 수 있다.
• 가속도계, 지오폰, 서보형 가속도계의 원리와 사용 진동수 범위를 비교할 수 있다.
• FFT 분석을 수행하고 진동수 스펙트럼에서 고유진동수, 모드 감쇠비를 추출할 수 있다.
• 지진, 풍하중, 교통 진동 각각의 계측 시스템 설계 원칙을 설명할 수 있다.

2. 구조동역학 기초

2.1 정적 해석과 동적 해석의 차이

정적 해석은 하중이 시간에 따라 변하지 않거나 매우 천천히 변한다고 가정한다. 동적 해석은 하중이 빠르게 변하여 관성력($ma$) 및 감쇠력($cv$)이 응답에 미치는 영향이 무시될 수 없을 때 적용한다.

정적 평형: $$ Ku = F $$ 동적 운동방정식: \[ M\ddot{u} + C\dot{u} + Ku = F(t) \] \( M \): 질량 행렬, \( C \): 감쇠 행렬, \( K \): 강성 행렬
\( \ddot{u}, \dot{u}, u \): 가속도, 속도, 변위 벡터, \( F(t) \): 외력 벡터

2.2 동적 하중의 종류

하중 유형	특성	인프라 사례
주기 하중	규칙적 반복. 회전 기계 진동.	펌프·팬 기초 진동
충격 하중	매우 짧은 시간 동안 큰 힘. 과도 응답.	차량 충격, 폭파 하중
임의(확률적) 하중	시간에 따라 불규칙하게 변화.	바람, 지진, 교통 하중
환경 하중	넓은 진동수 대역의 낮은 진폭.	마이크로 진동(교량 상시 진동)

3. 단자유도계(SDOF) 모델

3.1 SDOF 운동방정식

\[ m\ddot{u} + c\dot{u} + ku = F(t) \]
비감쇠 고유각진동수: \[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}, \quad f_n = \frac{\omega_n}{2\pi} \]
임계 감쇠 계수: \[ c_{cr} = 2\sqrt{mk} = 2m\omega_n \]
감쇠비 (Damping Ratio): \[ \xi = \frac{c}{c_{cr}} = \frac{c}{2m\omega_n} \]
감쇠 고유각진동수: \[ \omega_d = \omega_n\sqrt{1 - \xi^2} \]

3.2 자유진동 응답

저감쇠(\( \xi < 1 \)) 자유진동: \[ u(t) = e^{-\xi\omega_n t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t) \] 진폭 감소 → 로그 감쇠율로 감쇠비 추정 가능

로그 감쇠율 (Logarithmic Decrement): \[ \delta = \ln\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{2\pi\xi}{\sqrt{1-\xi^2}} \approx 2\pi\xi \quad (\xi \ll 1) \]

3.3 공진과 동적 증폭 계수

정현파 강제 하중 \( F(t) = F_0 \sin\omega t \)에 대한 정상응답 진폭:
\[ U = \frac{F_0/k}{\sqrt{(1-r^2)^2 + (2\xi r)^2}} = \frac{U_{st}}{D} \] \( \beta = \omega/\omega_n \): 진동수비, \( U_{st} = F_0/k \): 정적 변위
\( D \): 동적 증폭 계수(DAF, Dynamic Amplification Factor)

공진 조건 (\( \beta = 1, \xi \ll 1 \)):
\[ D_{max} \approx \frac{1}{2\xi} \] 예: \( \xi = 0.02 \) → \( D_{max} = 25 \) (정적 하중의 25배!)

4. 다자유도계(MDOF)와 모드해석

4.1 고유치 문제

비감쇠 자유진동에서의 고유치 문제: \[ (K - \omega_n^2 M)\phi = 0 \] 비자명 해(nontrivial solution)가 존재하는 조건: \[ \det(K - \omega^2 M) = 0 \] $n$ 자유도계의 해:
고유진동수: \( \omega_1 \leq \omega_2 \leq \cdots \leq \omega_n \)
모드 형상(Mode Shape): \( \phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n \)

4.2 모드 직교성

\[ \phi_i^T M \phi_j = 0 \quad (i \neq j) \] \[ \phi_i^T K \phi_j = 0 \quad (i \neq j) \] → 서로 다른 모드는 질량 행렬과 강성 행렬에 대해 직교

모드질량: \( m_i^* = \phi_i^T M \phi_i \)
모드강성: \( k_i^* = \phi_i^T K \phi_i = \omega_i^2 m_i^* \)

4.3 MAC(Modal Assurance Criterion)

두 모드 형상의 상관성을 0~1 사이의 수치로 평가. 실험 결과와 수치 해석 결과의 비교, 또는 시간에 따른 모드 변화 추적에 사용된다.

\[ MAC(\phi_A, \phi_B) = \frac{|\phi_A^T \phi_B|^2}{(\phi_A^T \phi_A)(\phi_B^T \phi_B)} \] MAC = 1.0: 완전 일치, MAC = 0: 완전 불일치
동일 모드 간: MAC ≥ 0.9 권장, 서로 다른 모드 간: MAC ≤ 0.1 권장



4.4 주요 인프라의 고유진동수 범위

구조물 유형	1차 고유진동수 범위	비고
장경간 현수교·사장교	0.05 ~ 0.5 Hz	주풍하중 공진 주의
중경간 교량	1 ~ 5 Hz	차량 통과 동적 영향
단경간 교량	5 ~ 15 Hz	교통 충격 계수 관련
초고층 건물 (100층 이상)	0.1 ~ 0.3 Hz	바람 공명, 거주성 기준
일반 건물 (10~30층)	0.5 ~ 2 Hz	지진 응답 스펙트럼 고려
댐	1 ~ 10 Hz	지진 응답 모니터링

5. 가속도 및 진동 센서

5.1 가속도계 선정 체크리스트

가속도계 선정 주요 항목

① 진동수 범위: DC 측정 필요 여부 (경사·저주파 → 서보형)
② 측정 범위: 상시 진동(mg 수준) vs 지진(수 g 이상)
③감도: mV/g 또는 V/g. 고감도는 저레벨 신호 계측에 유리
④ 노이즈 플로어: μg/√Hz. 낮을수록 미소 진동 탐지 가능
⑤ 전원 방식: ICP(IEPE) — 2선식, 편리. 서보형 — 별도 전원 필요
⑥ 방향(축 수): 단축, 2축, 3축
⑦ 방수·방진: 교량 하부 등 혹독한 환경 → IP67 이상
⑧ 크기·무게: WSN 노드용 → 소형·경량 MEMS

5.2 서보형(Force Balance) 가속도계

세이스믹 질량을 전자기력으로 중립 위치에 유지하면서, 그 피드백 전류로 가속도를 측정하는 폐루프(Closed-Loop) 방식. 지진 계측 및 구조 장기 모니터링 표준으로 사용.

• 진동수 범위: DC ~ 200 Hz (제품에 따라)
• 측정 범위: ±0.5 g ~ ±4 g (표준형)
• 노이즈: < 1 μg/√Hz (고성능 지진계)
• 출력: ±2.5 V 전압 또는 4~20 mA 전류 루프

5.3 지오폰(Geophone)

코일과 자석의 상대 운동(전자기 유도)으로 진동 속도를 측정하는 수동형(Passive) 센서. 외부 전원 불필요. 발파 진동, 지반 진동 계측에 널리 사용.

출력 전압 (속도에 비례): \[ V = Bl \cdot v_{rel} \] \( B \): 자속 밀도, \( l \): 코일 유효 길이, \( v_{rel} \): 코일-자석 상대 속도

고유 진동수 이하에서 감도 급감: 일반 지오폰 \( f_n \approx 4.5 \sim 14 \, \text{Hz} \)

5.4 MEMS 가속도계의 WSN 적용

대표 제품: ADXL355(Analog Devices), MPU-6050(InvenSense). 저전력(수 mA), SPI/I²C 인터페이스, 16~24 bit ADC 내장.

• 장점: 단가 수천 원 수준. 배터리 수년 운용 가능. 소형화.
• 단점: 노이즈 플로어 서보형 대비 높음 (10~100 μg/√Hz). 온도 드리프트.
• 활용: 교량 50~100 점 분산 배치, 건물 층별 가속도 모니터링.

6. FFT 분석 실무 [Formula]

6.1 FFT 파라미터 설정

주요 FFT 파라미터:

샘플링 진동수: \( f_s \) [Hz]
나이퀴스트 진동수: \( f_{Nyq} = f_s / 2 \)
FFT 블록 크기: \( N \) (2의 거듭제곱 권장: 512, 1024, 2048, ...)
진동수 분해능: \( \Delta f = f_s / N \)
시간 창(Time Window) 길이: \( T = N / f_s \, [\text{s}] \)

예: \( f_s = 200 \, \text{Hz} \), \( N = 2048 \)
\( \Delta f = 200/2048 \approx 0.098 \, \text{Hz} \), \( T = 10.24 \, \text{s} \)

6.2 윈도우 함수(Window Function)

FFT는 신호가 주기적이라고 가정한다. 실제 비주기 신호에 직접 FFT를 적용하면 스펙트럼 누설(Spectral Leakage)이 발생하여 피크가 번져 보인다. 이를 줄이기 위해 시간 창에 윈도우 함수를 곱한다.

윈도우 함수	특성	적용 권장 신호
Rectangular (없음)	진동수 분해능 최대, 누설 최대	정확히 주기적인 신호
Hanning	누설 양호, 범용. 진폭 보정 계수 2	상시 진동, 일반 목적
Hamming	Hanning과 유사, 첫 부엽 더 작음	음향, 진동 분석
Flat Top	진폭 정확도 최고. 분해능 낮음.	진폭 교정, 정현파 측정
Exponential	충격 응답 잔류 감쇠	타격 가진 (Hammer Test)

6.3 평균화(Averaging) 기법

• 선형 평균(Linear Averaging): N개 스펙트럼의 산술 평균. 일관된 신호 성분 강조, 노이즈 √N배 감소.
• RMS 평균(Power Spectral Density): 진폭 제곱의 평균. 비결정론적 신호에 적합.
• 피크 홀드(Peak Hold): 각 진동수 빈에서 최대값 유지. 간헐적 피크 탐지.

6.4 진동수 응답 함수(FRF: Frequency Response Function)

\[ H(\omega) = \frac{X(\omega)}{F(\omega)} \] \( X(\omega) \): 응답(변위/속도/가속도) 스펙트럼
\( F(\omega) \): 입력(힘) 스펙트럼

일관성 함수 (Coherence): \[ \gamma^2(\omega) = \frac{|G_{xy}(\omega)|^2}{G_{xx}(\omega) G_{yy}(\omega)} \] \( \gamma^2 = 1 \): 완전 선형 관계, \( \gamma^2 < 0.8 \): 노이즈 또는 비선형 의심

6.5 반치폭법(Half-Power Bandwidth; 파워반감대역폭)으로 감쇠비 추정

공진 피크의 최대 진폭의 \( 1/\sqrt{2} \) (= −3 dB) 지점의 진동수 \( f_1, f_2 \) 추출: \[ \xi \approx \frac{f_2 - f_1}{2 f_n} = \frac{\Delta f}{2 f_n} \] 유효 범위: \( \xi < 0.1 \) (저감쇠 시스템에 적합)

7. 실험모드해석(EMA) vs 운전모드해석(OMA)

7.1 EMA와 OMA의 비교

구분	실험모드해석 (EMA) Expemental Modal Analsysis	운전모드해석 (OMA) Operational Modal Analysis
가진 방법	충격 해머 또는 가진기로 가진	교통, 바람 등 자연 가진
입력 측정	필요 (힘 측정)	불필요 (응답만 측정)
교통 중단	필요 (실험실 또는 교통 통제)	불필요 (운영 중 계측)
모달 감도	높음 (절대 모드 형상)	상대 모드 형상만 획득
현장 적용성	낮음 (대형 교량 가진 어려움)	높음 (대형 토목 구조물 표준)

7.2 OMA 기반 알고리즘

• PP (Peak Picking): 파워 스펙트럼의 피크 진동수 = 고유진동수. 간단하지만 밀접한 모드 분리 어려움.
• FDD (Frequency Domain Decomposition): 출력만의 파워 스펙트럼 행렬의 SVD(특이값 분해)로 모드 분리. 밀접 모드에 효과적.
• SSI (Stochastic Subspace Identification): 시간 영역 상태 공간 모델에서 고유진동수·감쇠비·모드 형상을 동시 추출. 현재 가장 신뢰성 높은 방법.
FDD 기본 절차:
1. 출력 신호 \( y(t) \) 획득
2. 파워 스펙트럼 밀도 행렬(PSD) 계산: \( G_{yy}(\omega) \)
3. 각 진동수에서 SVD 분해: \( G_{yy}(\omega) = U S V^T \)
4. 1번째 특이값 \( s_1(\omega) \)의 피크 → 고유진동수
5. 해당 진동수에서 좌측 특이 벡터 \( u_1 \) → 모드 형상

7.3 안정화 다이어그램(Stabilization Diagram)

SSI 알고리즘에서 시스템 차수(Model Order)를 변화시키며 안정적으로 반복 등장하는 극점(Pole)을 물리적 모드로 선택하는 과정이다. 진동수·감쇠비·모드 형상이 연속적으로 안정화되는 극점만 채택한다.

8. 지진 응답 계측

8.1 지진 계측 시스템 구성

교량 지진 계측 시스템 구성

[지반 가속도계(Free-Field)] — 입력 지반 운동 기록
[교대 또는 교각 기초 가속도계] — 구조물 기초 응답
[교각 상단 가속도계] — 교각 동적 응답
[주형 계측점 (1/4, 1/2, 3/4 지점)] — 상부 구조 응답
[트리거 장치] — PGA ≥ 기준값(예: 10 gal) 시 연속 기록 시작
[독립 전원(UPS)] — 정전 시에도 최소 72시간 운용

8.2 지진 응답스펙트럼

SDOF 시스템의 최대 응답으로 정의:
\[ S_a(T_n, \xi) = \max_t |\ddot{u}(t) + \ddot{u}_g(t)| \] \( S_a \): 가속도 응답스펙트럼, \( T_n = 2\pi/\omega_n \): 고유주기
\( \ddot{u} \): 상대 가속도, \( \ddot{u}_g \): 지반 가속도

구조물의 고유주기 \( T_n \)을 알면 → 설계 스펙트럼과 비교하여 안전성 평가 가능

8.3 지진 후 신속 안전 평가 (Rapid Post-Earthquake Evaluation)

• 계측 데이터 자동 분석으로 최대 층간 변위비(Interstory Drift Ratio), 잔류 변위 산출.
• 임계값(예: 최대 층간 변위비 1.5% 초과) 초과 시 자동 경보 및 통행 제한 조치.
• PGA(최대 지반 가속도), PGV(최대 지반 속도), SI(스펙트럼 강도) 등 지수 자동 산출.

9. 풍하중 진동 계측

9.1 교량 풍하중 진동의 종류

• 버펫팅(Buffeting): 바람의 난류 성분에 의한 불규칙 강제 진동. 모든 방향.
• 플러터(Flutter): 바람-구조물 상호작용에 의한 자기 여기(Self-Excited) 불안정 진동. 임계 풍속 초과 시 발산적 진동 → 붕괴 위험. 타코마 교 사고(1940)의 원인.
• 와류 진동(Vortex-Induced Vibration, VIV): 구조물 후류에서 교번으로 발생하는 카르만 와류에 의한 공진. 스트로할 수로 공진 풍속 예측.
스트로할 수 (Strouhal Number): \[ St = \frac{f_s \cdot D}{U} \] \( f_s \): 와류 이탈 진동수, \( D \): 단면 폭, \( U \): 풍속
원형 단면: \( St \approx 0.2 \)

공진 풍속 (Lock-in Velocity): \[ U_{lock-in} = \frac{f_n \cdot D}{St} \]

9.2 풍속·풍향 계측 장비

• 컵형 풍속계(Cup Anemometer): 로터 회전수로 풍속 측정. 풍향 측정 불가.
• 프로펠러형 풍속계: 3축 풍속 성분 동시 측정.
• 초음파 풍속계(Ultrasonic Anemometer): 초음파 비행 시간으로 풍속·풍향 측정. 3D 난류 성분까지 고주파(20 Hz 이상) 측정. 이동 부위 없어 유지관리 불필요.
• 피토관(Pitot Tube): 정압과 동압의 차로 풍속 산출. 항공기·터널 계측.

9.3 사장교 케이블 장력 진동 계측

사장교 케이블은 풍우 가진(Rain-Wind Induced Vibration) 등으로 큰 진동이 발생할 수 있다. 가속도계로 케이블 진동을 계측하고 장력을 추정한다.

케이블 고유진동수-장력 관계 (현 이론): \[ f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}} \] \( n \): 모드 차수, \( L \): 케이블 길이, \( T \): 장력, \( \mu \): 단위 길이당 질량

→ 계측된 고유진동수 \( f_n \)으로 장력 \( T \) 역산 가능
\[ T = \left(\frac{2Lf_n}{n}\right)^2 \mu \]

10. 교통 진동 계측

10.1 교통 하중에 의한 동적 응답

차량이 교량을 통과할 때 발생하는 충격 하중(Impact Load)은 동적 증폭 효과를 유발한다. 도로교 설계기준에서는 충격 계수(Impact Factor, IM)를 통해 정적 하중을 증폭시켜 설계에 반영한다.

충격 계수 (AASHTO 기준): \[ IM = 33\% \quad \text{(일반 차량하중)} \] 동적 증폭 계수 (실측 기반): \[ DAF = \frac{\text{동적 응답 최대값}}{\text{정적 응답 최대값}} \]

10.2 WIM (Weigh-In-Motion) 시스템

차량이 이동 중에 각 축 하중과 총 중량을 측정하는 시스템. 교량 피로 수명 평가, 과적 차량 단속, 교통량 통계에 활용된다.

• 압전 WIM: 노면 매립 압전 스트립으로 차축 하중 측정. 저가, 설치 용이.
• 변형률 게이지 WIM: 교량 주형에 부착된 스트레인 게이지의 응답에서 차량 하중 역산. Bridge-WIM(B-WIM)이라 함.
• B-WIM 원리: Moses 알고리즘 기반. 영향선(Influence Line)과 계측 응답의 최소 제곱 오차로 축 하중 역산.
Moses B-WIM 알고리즘 (단순화): \[ \varepsilon(t) = \sum_{k=1}^{N_{axle}} P_k \cdot IL(x_k(t)) \] \( \varepsilon(t) \): 계측 변형률, \( P_k \): k번째 축 하중, \( IL \): 영향선
→ \( P_k \)를 미지수로 최소 제곱법 적용

10.3 발파·건설 진동 계측

터널 굴착 발파, 항타(Pile Driving), 철거 등 건설 작업에서 발생하는 진동이 인근 구조물에 미치는 영향을 계측한다.

• 계측 기준: 국내 「소음·진동관리법」 및 건설공사 표준시방서 기준. PPV(최대 입자 속도)로 평가.
• 허용 PPV: 일반 주택 2~5 mm/s, 역사적 구조물 1~2 mm/s (문화재청 기준).
• 계측 장비: 3축 지오폰 + 사운드 레벨 미터를 일체화한 진동 레벨계.
발파 진동 예측식 (USBM 기준): \[ PPV = K \left(\frac{D}{\sqrt{W}}\right)^{-n} \] \( D \): 발파점으로부터의 거리 [m]
\( W \): 지발당 장약량 [kg]
\( K, n \): 현장 고유 상수 (일반적으로 K ≈ 160, n ≈ 1.6)

11. 핵심 정리

5장 핵심 키워드 및 개념 요약

✔ SDOF: ωn=√(k/m), ζ=c/ccr, 공진 시 DAF≈1/(2ζ)
✔ MDOF: 고유치 문제 (K-ω²M)φ=0, MAC으로 모드 상관 평가
✔ 가속도계: 서보형(DC~200 Hz, 지진) / IEPE(일반) / MEMS(WSN)
✔ FFT: Δf=fs/N, 윈도우(Hanning 범용), 반치폭→감쇠비
✔ OMA: 교통 통제 없이 상시 진동으로 모달 파라미터 추출 (FDD, SSI)
✔ 지진 계측: 응답스펙트럼, PGA·PGV·SI, 지진 후 신속 평가
✔ 풍하중: 버펫팅·플러터·VIV, 스트로할수, Lock-in 풍속
✔ 교통 진동: DAF, B-WIM(영향선+최소제곱)
✔ 발파 진동: PPV, USBM 예측식, 허용 기준 (2~5 mm/s)

12. 참고문헌

• Chopra, A. K. (2017). Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering (5th ed.). Pearson.
• Ewins, D. J. (2000). Modal Testing: Theory, Practice and Application (2nd ed.). Research Studies Press.
• Brincker, R. & Ventura, C. (2015). Introduction to Operational Modal Analysis. Wiley.
• Simiu, E. & Scanlan, R. H. (1996). Wind Effects on Structures (3rd ed.). Wiley.
• Moses, F. (1979). Weigh-In-Motion System Using Instrumented Bridges. Transportation Engineering Journal of ASCE, 105(3).
• 국토교통부 (2016). 도로교 설계기준 (한계상태설계법).