\[ Q_x = \int_A y \, dA = \bar{y} A \]
[Note] 도심에 대한 단면1차모멘트는 0이다.
[Note]
\[ \bar{y}_{\text{반원}} = \frac{4r}{3\pi} \]
[실험] 아크릴판 처짐 실험
\[ I_x = \int_A y^2 \, dA \]
[Note]
\[ I_{\text{직사각형}} = \frac{b h^3}{12}, \quad I_{\text{삼각형}} = \frac{b h^3}{36}, \quad I_{\text{원형}} = \frac{\pi d^4}{64} \]
\[ I_{x1} = I_x + A y^2 \]
\[ I_{xy} = \int xy \, dA = \iint xy \, dx \, dy \]
\[ I_{x1y1} = I_{xy} + A x y \]
[Note] 대칭축 에 대해서 \( I_{xy} = 0 \) 이다.
\[ I_p = \int r^2 dA \] \[ = I_x + I_y \]
[Note] 원형단면
\[ I_p = I_x + I_y = \frac{\pi d^4}{64} + \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi d^4}{32} \]활용
∙ \( r \)이 클수록 휨에 대한 저항성이 크다.
∙ 기둥의 좌굴하중 산정에 사용된다.
[Note] 직사각형
\[ I = \frac{b h^3}{12}, \quad y_{max} = \frac{h}{2} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{b h^2}{6} \][Note] 항복모멘트
\[ M_y = \sigma_y S \quad \Rightarrow \quad \sigma_y = \frac{M_y}{S} \]여기서
\( \quad Z = 2 Q_{NA} \)
\( \quad Q_{NA} \)는 중립축에 대한 반쪽 단면의 단면1차 모멘트
[Note] 직사각형
\[ Z = 2 \times \left( \frac{b h}{2} \times \frac{h}{4} \right) = \frac{b h^2}{4} \]• 항복모멘트에 대한 소성모멘트의 비
\[ \Phi = \frac{M_z}{M_y} = \frac{\sigma_y Z}{\sigma_y S} = \frac{Z}{S} (> 1) \][Note] 클수록 항복 이후 더 큰 하중을 견딤
[Note] 주요 단면의 경우
| 단면 형상 | \( Z \) | \( S \) | \( \Phi \) |
|---|---|---|---|
| 직사각형 | \(\frac{b h^2}{4}\) | \(\frac{b h^2}{6}\) | 1.5 |
| 원형 | \(\frac{\pi d^3}{6}\) | \(\frac{\pi d^3}{32}\) | 1.7 |
| I형보 (H형강) | 복잡한 값 | 복잡한 값 | 1.12 ~ 1.20 |
[Note] I형 보는 형상계수(\( \Phi \))가 작아 소성설계에는 불리함
