1-4 전단응력

4.1 전단응력

[유도] 보의 전단응력

\[ \tau = \frac{VQ}{Ib} \]

여기서

\( \quad V = \) 전단력

\( \quad Q = \) (단면의 중립축에 대한) (중립축에서 떨어진 바깥 단면의) 단면1차모멘트

\( \quad I = \) (단면의 중립축에 대한) 단면2차모멘트

\( \quad b = \) (전단응력을 구하는 위치에서의) 단면폭

4.2 최대전단응력

• \(\tau = \frac{VQ}{Ib}\) 를 사용하여 최대전단응력을 유도
• 중립축에서 발생
  - 장방형(직사각형) \( (\tau_{max} = \frac{3}{2} \tau_{ave}) \)
  - 원형 \( (\tau_{max} = \frac{4}{3} \tau_{ave}) \)

4.3 전단중심

[그림] 보의 비틀림과 순수 휨
[실험] 보의 전단중심 실험
[예제] 전단흐름과 전단중심

• 전단중심(shear center, SC)은 단면이 받아내는 전단력의 합력점의 위치
• 하중이 전단중심 점을 통과하는 단면은 비틀림이 발생하지 않고 휨만 작용
• 비틀림을 받는 단면은 이 점의 둘레를 강제회전하므로 비틀림중심이라고도 함
• 단면이 대칭인 경우 전단중심은 그 대칭축 위에 존재

4.4 비틀림모멘트 (응력 조합)

(1) 원형 단면

\[ \tau_{max} = \frac{Tr}{J} \]

여기서

\( \quad J = \) 비틀림상수. 원형단면의 경우:

\( \quad \quad J = I_p = I_x + I_y = 2 \times \frac{\pi d^4}{64} = \frac{\pi d^4}{32} \)

\( \quad r = \) 반경 (단면 중심에서 거리

(2) 직사각형 중공 단면 (얇은 관)

[유도] 얇은 튜브의 비틀림 공식

• 폐쇄단면의 전단흐름 (\( f \))은 일정

\[ f = \tau \cdot t = \frac{T}{2A} \]

\[ \Rightarrow \tau = \frac{T}{2At} \]

여기서

\( T \) = 비틀림모멘트

\( A \) = 평균 내부면적

\( t \) = 얇은 관의 두께

4.5 등가응력

(1) Von Mises 등가응력

재료가 복잡한 응력 상태(수직응력 + 전단응력이 동시에 존재)에 놓일 때, 이것이 얼마나 항복에 가까운지를 하나의 숫자로 표현한 등가 응력이다. 단순 인장 시험에서는 \(\sigma\) 하나만 보면 항복 여부를 알 수 있지만, 휨응력(\(\sigma\))과 전단응력(\(\tau\))이 동시에 작용하면 둘을 합쳐서 판단해야 한다. Von Mises는 왜곡 변형 에너지(Distortion Energy) 기반의 항복 조건을 제안했다. 이 에너지가 임계값을 초과하면 항복이 시작된다.

① 일반 3차원 Von Mises 응력 수식

• 주응력 \(\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3\)로 표현할 때:

\[ \sigma_{VM} = \sqrt{\frac{1}{2} [(\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2]} \]

• 직교 응력 성분으로 표현하면:

\[ \sigma_{VM} = \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2} \]

② 2차원 평면 응력 상태

• 보의 표면처럼 \(\sigma_z = 0, \tau_{yz} = 0, \tau_{xz} = 0\) 인 경우:

\[ \sigma_{VM} = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} \]