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3-3 가상일과 변형에너지
3.1 가상일의 원리
- “가상변위”란 실제하중에 의해 생기는 실제변위가 아니라, 구조물에 임의로 발생하는 가상적 변위를 말한다.
- “가상일”이란 가상변위가 발생하는 동안에 실제 하중들이 하는 일을 말한다.
그림 3-3.3.1 일의 정의
그림 3-3.3.2 하중에 의한 일의 양
- 어떤 외력이 작용하고 있는 평형상태에 있으며 변형이 가능한 구조물에 임의의 작은 가상변위를 주면 외력이 한 일(즉, 외적 가상일)과 내력이 한 일(즉, 내적 가상일)은 서로 같다.
- 외적 가상일 \( W_{ext} \) = 내적 가상일 \( W_{int} \)
여기서:
- 일정한 하중 단계
\[
W_{ext} = P \cdot \delta + M \cdot \theta
\]
- 점가 증가하는 하중 단계
\[
W_{ext} = \frac{1}{2} P \cdot \delta + \frac{1}{2} M \cdot \theta
\]
- 부재의 내적 가상변형
그림 3-3.3.3 부재력과 변형
- 구조물의 내적 가상일
\[
W_{int} = \int N d l + \int M d \theta + \int V d \lambda + \int T d \phi
\]
\[
= \int \frac{1}{2} \frac{N^2 dx}{EA} + \int \frac{1}{2} \frac{M^2 dx}{EI}
+ \int \frac{1}{2} \kappa \frac{V^2 dx}{GA} + \int \frac{1}{2} \frac{T^2 dx}{GJ}
\]
여기서
\[
\kappa = \text{전단형상계수 (shear form factor)}
\]
그림 3-3.3.4 부재력
3.2 변형에너지: 휨
휨에 대한 변형에너지는 다음과 같다.
\[
U = \int \frac{1}{2} M d\theta = \int \frac{1}{2} M \left(\frac{M dx}{EI} \right) = \int \frac{M^2}{2EI} dx
\]
또는
\[
U = \sum \frac{1}{2} M d\theta = \sum \frac{1}{2} M \left(\frac{M L}{EI} \right) = \sum \frac{M^2 L}{2EI}
\]
3.3 변형에너지: 축, 비틀림
📌 축 변형에너지
\[
U = \int \frac{1}{2} N d \Delta = \int \frac{1}{2} N \left(\frac{N dx}{EA} \right) = \int \frac{N^2}{2EA} dx
\]
또는
\[
U = \sum \frac{1}{2} N d \Delta = \sum \frac{1}{2} N \left(\frac{N L}{EA} \right) = \sum \frac{N^2 L}{2EA}
\]
📌 비틀림 변형에너지
\[
U = \int \frac{1}{2} T d \phi = \int \frac{1}{2} T \left(\frac{T dx}{GJ} \right) = \int \frac{T^2}{2GJ} dx
\]
또는
\[
U = \sum \frac{1}{2} T d \phi = \sum \frac{1}{2} T \left(\frac{T L}{GJ} \right) = \sum \frac{T^2 L}{2GJ}
\]