제5장 압축재

5.1 개요

압축하중을 받는 부재는 길이가 짧으면 재료의 압축강도(항복 등)에 의해 강도가 결정되지만, 길이가 길어질수록 좌굴(buckling)이 지배적으로 나타난다. 따라서 압축재의 강도 평가는 단면 성능뿐 아니라 부재 길이, 단부 지지조건, 초기 휨(초기 결함), 잔류응력, 단면 형상 등에 의해 크게 좌우된다.

압축재 예시

• 기둥(column)
• 트러스의 상현재(top chord)
• 플레이트 거더의 압축 플랜지(compression flange)

특히 실제 강구조물에서는 제작·용접·가공 과정에서 발생하는 잔류응력과 초기 변형이 존재하므로, 이론적 좌굴하중과 실제 좌굴거동 사이에 차이가 생긴다. 설계에서는 이러한 불확실성을 고려한 설계기준식(공칭강도, 저항계수 등)을 사용한다.

5.2 압축재의 좌굴

5.2.1 중심 압축력을 받는 부재의 좌굴 (오일러 좌굴)

중심(편심이 없는) 압축력 \(P\)가 작용하는 직선 부재에서, 미소 변형 가정 하에 단면의 휨모멘트는 \( M = -EI\,\frac{d^2 y}{dx^2} \)로 나타낼 수 있고, 압축력에 의한 2차 모멘트는 \(P\,y\)이므로 평형조건은 다음과 같이 정리된다.

좌굴 미분방정식(중심 압축):

\[ EI\frac{d^2 y}{dx^2} + P\,y = 0 \] (또는 \( \frac{d^2 y}{dx^2} + k^2 y = 0,\; k^2 = \frac{P}{EI} \))

단부 조건에 따라 해가 달라지며, 대표적으로 양단 단순지지(pinned–pinned)인 경우 비자명해(\(y\neq0\))가 존재하기 위한 조건은 \(\sin(kL)=0\Rightarrow kL=n\pi\;(n=1,2,3,\dots)\)가 된다. 이때 임계(좌굴)하중은

오일러 임계좌굴하중(Euler load):

\[ P_{cr,n} = \frac{n^2\pi^2 EI}{L^2} \]
보통 1차 모드(\(n=1\))가 지배하므로, \( P_{cr}=\frac{\pi^2 EI}{L^2} \)를 사용한다.

실제 설계에서는 단부지지조건을 하나의 계수로 반영하여 유효좌굴길이계수 \(K\)를 사용한다. 유효좌굴길이를 \(K L\)로 두면,

\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2} \]

\( E \): 탄성계수
\( I \): 좌굴면에 대한 단면2차모멘트
\( K \): 유효좌굴길이계수
\( L \): 부재의 실제 길이

단면적 \(A\)로 나누면 임계좌굴응력은 \( F_{cr}=\frac{P_{cr}}{A} \)이며, 단면회전반경 \( r=\sqrt{I/A} \)를 사용하면 세장비 \(\lambda = KL/r\)에 대해 \[ F_{e}=\frac{\pi^2E}{(KL/r)^2} \] 로 쓸 수 있다. 여기서 \(F_e\)는 탄성좌굴응력(elastic buckling stress)이다.

또한 오일러 하중은 평형상태가 '갈라지는' 분기(bifurcation) 현상으로 해석될 수 있으며, 좌굴 이전에는 직선 상태(안정 평형), 좌굴 이후에는 휨 변형을 동반한 새로운 평형 경로로 이동한다.

5.2.2 중심 압축력을 받는 부재의 비탄성좌굴

오일러 좌굴은 재료가 선형탄성 거동을 한다는 가정에서 유도된다. 그러나 실제 강재 압축재는 세장비가 작아질수록 좌굴 전에 단면에 비탄성(항복)이 발생하고, 좌굴응력은 오일러 값보다 작아진다. 이를 설명하기 위해 변형도(응력–변형률) 곡선의 기울기를 탄성계수 \(E\) 대신 접선계수(tangent modulus) \(E_t\) 또는 이중계수(double modulus) 개념으로 치환하는 접근이 사용된다.

(개념) 접선계수 이론의 좌굴응력:

\[ F_{cr} = \frac{\pi^2 E_t}{(KL/r)^2} \]
(비탄성 영역에서 \(E_t<E\) 이므로 \(F_{cr}\)가 감소)

대표적으로 Engesser의 접선계수 이론과, von Karman이 발전시킨 탄성-비탄성 전이(비선형) 해석이 알려져 있으며, 설계기준에서는 이러한 복잡한 비탄성 거동(잔류응력 포함)을 경험식·곡선식으로 반영한 좌굴강도곡선(buckling curve)을 제공한다.

좌굴강도곡선의 핵심은 세장비가 큰 영역(탄성좌굴 지배)에서는 \(F_{cr}\approx F_e\)로 수렴하고, 세장비가 작은 영역(재료 항복 지배)에서는 \(F_{cr}\)이 \(F_y\)(항복강도)에 의해 제한된다는 점이다.

5.2.3 편심 압축력을 받는 부재의 좌굴

실제 압축재는 하중 작용선이 단면 중심을 정확히 지나지 않거나, 제작 오차·초기 변형 때문에 편심(eccentricity)이 존재한다. 편심이 있으면 압축력과 동시에 휨모멘트가 발생하여 변형이 증폭될 수 있으며, 이를 고려한 대표식이 세컨트(SEC) 공식(secant formula)이다.

편심 압축재의 기본식(개념형):

\[ EI\frac{d^2 y}{dx^2} + P\,(e+y)=0 \]

경계조건을 적용해 해를 구하면, 최대처짐은 부재 중앙에서 발생하며 압축력 \(P\)가 오일러 하중 \(P_E\)에 접근할수록 처짐이 급격히 증가한다.

세컨트(SEC) 공식의 형태(핵심 개념):

\[ M_{max}=P\,e\;\sec\!\left(\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{P}{P_E}}\right) \]
\(P\to P_E\)에서 \(\sec(\cdot)\)가 발산하므로, 편심이 아주 작아도 변형/응력이 크게 증폭될 수 있다.

따라서 압축재 설계에서는 '완전 중심압축' 가정에만 의존하기보다, 편심·초기 결함에 의한 2차 효과(P-Δ, P-δ)를 고려하는 것이 중요하다.

5.3 압축재의 유효 좌굴길이

5.3.1 단일 압축재의 유효 좌굴길이

오일러 좌굴식은 부재 길이 \(L\)과 단부 경계조건(지지조건)에 의해 임계하중이 달라진다. 이를 하나의 길이로 환산한 것이 유효좌굴길이 \(K L\)이다. 즉, 실제 부재를 '양단 단순지지' 부재로 등가화했을 때 같은 좌굴하중을 주는 길이를 의미한다.

대표 단부조건과 \(K\) (자주 쓰는 값):

• 양단 단순지지(pinned–pinned): \(K=1.0\)
• 일단 고정–타단 자유(fixed–free, 캔틸레버): \(K=2.0\)
• 일단 고정–타단 단순지지(fixed–pinned): \(K\approx0.7\)
• 양단 고정(fixed–fixed): \(K=0.5\)

다만, 실제 구조물에서는 골조의 횡방향 변위(수평이동, sidesway) 여부에 따라 동일한 단부 조건이라도 \(K\)가 달라질 수 있다. 또한 부재의 단면이 구간마다 변하거나(변단면 부재), 축력 분포가 균일하지 않은 경우에는 단순한 표준 \(K\)값 대신 근사식 또는 도표를 이용한다.

변단면(테이퍼) 부재의 근사

변단면 압축재는 구간별 강성(예: \(I\))이 달라 좌굴형상이 달라진다. 설계에서는 단면 변화 비율(예: 최소/최대 단면강성 비)과 길이비 등을 이용해 유효좌굴길이를 근사하는 식 또는 표를 사용한다.

5.3.2 골조 압축재의 유효 좌굴길이

골조(프레임) 내 기둥의 좌굴은 인접 부재(보·기둥)의 강성과 접합 조건에 의해 크게 영향을 받는다. 특히 기둥 단부가 완전 고정인지, 회전이 가능한지, 그리고 층의 수평이동(sidesway)이 가능한지에 따라 유효좌굴길이가 달라진다. 이를 위해 정렬도(alignment chart) 또는 강성비 기반의 근사법이 사용된다.

정렬도에서 사용하는 단부 강성지수 \(G\) (개념):

\[ G = \frac{\sum\left(I_c/L_c\right)}{\sum\left(I_b/L_b\right)} \]
여기서, \(I_c, L_c\): 접합부에 연결되는 기둥의 단면2차모멘트/길이
       \(I_b, L_b\): 접합부에 연결되는 보의 단면2차모멘트/경간
(참고) 보 강성 감쇠계수의 예(개념):

• 보 원단이 구속(반력/회전 억제)될수록 보의 '유효 강성'은 커지고, 기둥의 \(K\)는 작아지는 경향
• 보 원단이 자유로울수록 보의 '유효 강성'은 작아지고, 기둥의 \(K\)는 커지는 경향

정렬도 적용 절차(요약)

1. 검토 기둥의 상·하단 접합부에서 연결되는 보/기둥의 강성비를 계산하여 \(G_A, G_B\) 산정
2. 골조의 횡이동 가능 여부(브레이싱, 전단벽, 모멘트골조 등) 판단
3. 정렬도 또는 기준식으로 \(K\)를 결정
4. \(KL\)을 이용해 세장비 \(KL/r\) 산정 → 좌굴강도 \(F_{cr}\) 평가

5.4 압축재 세장비 제한

1) 세장비 제한의 필요성

세장비(\(\lambda = KL/r\))가 지나치게 크면 압축강도가 급격히 감소하고, 진동·처짐·시공 중 취급 등에서 불안정 거동이 발생할 수 있다. 따라서 설계기준에서는 부재 용도별로 세장비 상한값을 규정하여 구조적 안전성과 시공성을 동시에 확보하도록 요구한다.

2) KDS 41 31 00 규정

KDS 41 31 00 (강구조 설계기준) 제5장 5.2절에서는 압축재의 세장비 제한을 다음과 같이 규정한다.

KDS 41 31 00 : 5.2 세장비 제한

압축재의 세장비 \(KL/r\)는 다음 값을 초과하지 않도록 한다.


부재 구분	세장비 상한 (\(\lambda_{max}\))
주요 압축재 (기둥, 주트러스 압축재 등)	200
2차 압축재 (가새, 2차 트러스재 등)	200
※ 세장비 상한 200은 절대 한계이며, 실무적으로는 주요 압축재에 대해 \(\lambda \leq 120\) 이하를 권장하는 경우가 많다.

3) 세장비 구간별 거동 특성

세장비 구간	지배 거동	비고
\(\lambda \leq 120\)	단주 거동 (비탄성 좌굴 또는 항복 지배)	실무 권장 범위
\(120 < \lambda \leq 200\)	장주 거동 (탄성 좌굴 지배)	압축강도 급감, 초기 결함 민감
\(\lambda > 200\)	기준 초과	사용 불가 (단면 재설계 필요)

4) 세장비와 압축강도 관계

오일러 탄성좌굴응력 \(F_e\)는 세장비의 제곱에 반비례한다. 세장비가 2배가 되면 압축강도는 약 1/4 수준으로 감소한다.

\[ F_e = \frac{\pi^2 E}{(KL/r)^2} \] 예) \(E = 205{,}000\,\text{MPa}\) 기준:

\(\lambda = 100\): \(F_e \approx 202\,\text{MPa}\)
\(\lambda = 150\): \(F_e \approx 90\,\text{MPa}\)
\(\lambda = 200\): \(F_e \approx 51\,\text{MPa}\)

5) 가설 단계 세장비 증가 주의

완성 구조물에서는 인접 부재에 의해 횡지지가 확보되어 유효좌굴길이계수 \(K\)가 설계값(0.5~1.0) 이내로 유지된다. 그러나 가설(시공) 단계에서는 횡지지 부재가 설치되지 않은 상태이므로 \(K\)가 증가하여 실제 세장비가 설계값보다 크게 될 수 있다.

예시: 설계 시 \(K=0.7\), \(L=10\,\text{m}\), \(r=65\,\text{mm}\)
  완성 시: \(\lambda = 0.7 \times 10{,}000 / 65 \approx \mathbf{108}\) (권장 범위 이내)
  가설 시 횡지지 미확보 → \(K=1.0\) 적용 시: \(\lambda = 1.0 \times 10{,}000 / 65 \approx \mathbf{154}\) (장주 거동 영역 진입)

→ 가설 단계 별도 안전성 검토 필요

6) 장경간 강관 부재의 추가 고려사항

세장비 150 이상의 장경간 강관 압축재는 좌굴강도 문제 외에 다음 사항을 추가로 검토한다.

• 운반·설치 중 국부변형: 자중에 의한 처짐 및 인양 시 집중하중으로 오벌링(Ovaling) 또는 덴트(Dent) 발생 가능 → D/t 비 및 취급 하중 검토
• 가설 중 횡지지 계획: 시공 순서별 유효좌굴길이 변화를 고려한 가설 브레이싱 설치 계획 수립
• 시공계획서 작성: KCS 41 30 02(강구조 공사 표준시방서) 및 건설기술진흥법 제48조에 따라 가설 단계 구조 안전성 검토 및 시공계획서 작성 권고

5.5 설계 요점 정리

1) 기본 설계 개념

압축재 설계는 (1) 단면 압축항복, (2) 부재 좌굴(전체좌굴), (3) 국부좌굴, (4) 필요 시 비틀림좌굴/휨-비틀림좌굴 등을 종합 검토한다. 설계압축강도는 공칭강도에 강도저항계수 \(\phi_c\)를 곱하여 산정하며, 일반적으로 \(\phi_c = 0.9\)를 사용한다.

2) 설계 검토 흐름(실무형)

1. 단면 성질 산정: \(A, I_x, I_y, r_x, r_y\)
2. 좌굴면별 세장비 계산: \(KL/r\) (x축, y축 각각)
3. 골조 기둥이면 \(K\) 결정(정렬도/근사식) → \(KL\) 산정
4. 좌굴강도 \(F_{cr}\) 산정(탄성/비탄성 영역 포함)
5. 공칭 압축강도: \(P_n = F_{cr}A\)
6. 설계강도: \(\phi_c P_n\)과 요구강도 비교
7. 편심·2차효과(P-Δ, P-δ) 고려가 필요한 경우 추가 검토

압축재는 작은 편심이나 초기 결함에도 민감하므로, 단면·재료뿐 아니라 시스템(골조) 거동을 포함한 좌굴 안정성 평가가 중요하다.