압축하중을 받는 부재는 길이가 짧으면 재료의 압축강도(항복 등)에 의해 강도가 결정되지만, 길이가 길어질수록 좌굴(buckling)이 지배적으로 나타난다. 따라서 압축재의 강도 평가는 단면 성능뿐 아니라 부재 길이, 단부 지지조건, 초기 휨(초기 결함), 잔류응력, 단면 형상 등에 의해 크게 좌우된다.
특히 실제 강구조물에서는 제작·용접·가공 과정에서 발생하는 잔류응력과 초기 변형이 존재하므로, 이론적 좌굴하중과 실제 좌굴거동 사이에 차이가 생긴다. 설계에서는 이러한 불확실성을 고려한 설계기준식(공칭강도, 저항계수 등)을 사용한다.
중심(편심이 없는) 압축력 \(P\)가 작용하는 직선 부재에서, 미소 변형 가정 하에 단면의 휨모멘트는 \( M = -EI\,\frac{d^2 y}{dx^2} \)로 나타낼 수 있고, 압축력에 의한 2차 모멘트는 \(P\,y\)이므로 평형조건은 다음과 같이 정리된다.
단부 조건에 따라 해가 달라지며, 대표적으로 양단 단순지지(pinned–pinned)인 경우 경계조건 \(y(0)=0,\; y(L)=0\)를 적용하면 비자명해(\(y\neq0\))가 존재하기 위한 조건은 \(\sin(kL)=0\Rightarrow kL=n\pi\;(n=1,2,3,\dots)\)가 된다. 이때 임계(좌굴)하중은
실제 설계에서는 단부지지조건을 하나의 계수로 반영하여 유효좌굴길이계수 \(K\)를 사용한다. 유효좌굴길이를 \(K L\)로 두면,
\[ P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2} \]
단면적 \(A\)로 나누면 임계좌굴응력은 \( F_{cr}=\frac{P_{cr}}{A} \)이며, 단면회전반경 \( r=\sqrt{I/A} \)를 사용하면 세장비 \(\lambda = KL/r\)에 대해 \[ F_{e}=\frac{\pi^2E}{(KL/r)^2} \] 로 쓸 수 있다. 여기서 \(F_e\)는 탄성좌굴응력(elastic buckling stress)이다.
또한 오일러 하중은 평형상태가 ‘갈라지는’ 분기(bifurcation) 현상으로 해석될 수 있으며, 좌굴 이전에는 직선 상태(안정 평형), 좌굴 이후에는 휨 변형을 동반한 새로운 평형 경로로 이동한다.
오일러 좌굴은 재료가 선형탄성 거동을 한다는 가정에서 유도된다. 그러나 실제 강재 압축재는 세장비가 작아질수록 좌굴 전에 단면에 비탄성(항복)이 발생하고, 좌굴응력은 오일러 값보다 작아진다. 이를 설명하기 위해 변형도(응력–변형률) 곡선의 기울기를 탄성계수 \(E\) 대신 접선계수(tangent modulus) \(E_t\) 또는 이중계수(double modulus) 개념으로 치환하는 접근이 사용된다.
대표적으로 Engesser의 접선계수 이론과, von Karman이 발전시킨 탄성-비탄성 전이(비선형) 해석이 알려져 있으며, 설계기준에서는 이러한 복잡한 비탄성 거동(잔류응력 포함)을 경험식·곡선식으로 반영한 좌굴강도곡선(buckling curve)을 제공한다.
좌굴강도곡선의 핵심은 세장비가 큰 영역(탄성좌굴 지배)에서는 \(F_{cr}\approx F_e\)로 수렴하고, 세장비가 작은 영역(재료 항복 지배)에서는 \(F_{cr}\)이 \(F_y\)(항복강도)에 의해 제한된다는 점이다.
실제 압축재는 하중 작용선이 단면 중심을 정확히 지나지 않거나, 제작 오차·초기 변형 때문에 편심(eccentricity)이 존재한다. 편심이 있으면 압축력과 동시에 휨모멘트가 발생하여 변형이 증폭될 수 있으며, 이를 고려한 대표식이 세컨트(SEC) 공식(secant formula)이다.
단순화를 위해, 양단 단순지지 압축재에 편심 \(e\)가 존재한다고 하면, 미분방정식은 다음 형태로 정리될 수 있다.
경계조건을 적용해 해를 구하면, 최대처짐은 부재 중앙에서 발생하며 압축력 \(P\)가 오일러 하중 \(P_E\)에 접근할수록 처짐이 급격히 증가한다. 대표적인 결과는 다음과 같이 표현된다.
따라서 압축재 설계에서는 ‘완전 중심압축’ 가정에만 의존하기보다, 편심·초기 결함에 의한 2차 효과(P-Δ, P-δ)를 고려하는 것이 중요하다.
오일러 좌굴식은 부재 길이 \(L\)과 단부 경계조건(지지조건)에 의해 임계하중이 달라진다. 이를 하나의 길이로 환산한 것이 유효좌굴길이 \(K L\)이다. 즉, 실제 부재를 ‘양단 단순지지’ 부재로 등가화했을 때 같은 좌굴하중을 주는 길이를 의미한다.
다만, 실제 구조물에서는 골조의 횡방향 변위(수평이동, sidesway) 여부에 따라 동일한 단부 조건이라도 \(K\)가 달라질 수 있다. 또한 부재의 단면이 구간마다 변하거나(변단면 부재), 축력 분포가 균일하지 않은 경우에는 단순한 표준 \(K\)값 대신 근사식 또는 도표를 이용한다.
변단면 압축재는 구간별 강성(예: \(I\))이 달라 좌굴형상이 달라진다. 설계에서는 단면 변화 비율(예: 최소/최대 단면강성 비)과 길이비 등을 이용해 유효좌굴길이를 근사하는 식 또는 표를 사용한다. (교재에서는 변단면 형상별로 \(KL\)을 산정하는 근사식/표를 제시한다.)
골조(프레임) 내 기둥의 좌굴은 인접 부재(보·기둥)의 강성과 접합 조건에 의해 크게 영향을 받는다. 특히 기둥 단부가 완전 고정인지, 회전이 가능한지, 그리고 층의 수평이동(sidesway)이 가능한지에 따라 유효좌굴길이가 달라진다. 이를 위해 정렬도(alignment chart) 또는 강성비 기반의 근사법이 사용된다.
계산된 \(G\)값(양단 각각 \(G_A, G_B\))과 골조의 횡이동 조건(비가새/가새 여부 등)에 따라 정렬도에서 \(K\)를 읽어 \(KL\)을 산정한다. 보의 단부가 핀/고정이거나, 보의 원단이 구속되는 정도에 따라 보 강성에 감쇠계수를 곱해 현실적인 강성으로 평가하기도 한다.
압축재 설계는 (1) 단면 압축항복, (2) 부재 좌굴(전체좌굴), (3) 국부좌굴, (4) 필요 시 비틀림좌굴/휨-비틀림좌굴 등을 종합 검토한다. 설계압축강도는 공칭강도에 강도저항계수 \(\phi_c\)를 곱하여 산정하며, 일반적으로 \(\phi_c = 0.9\)를 사용한다.
압축재는 작은 편심이나 초기 결함에도 민감하므로, 단면·재료뿐 아니라 시스템(골조) 거동을 포함한 좌굴 안정성 평가가 중요하다.