보는 부재의 길이 방향의 축에 가로로 작용하는 횡하중을 지지하는 구조재로서, 휨모멘트를 받기 때문에 휨재라고도 한다. 보에는 작용 하중에 의하여 휨과 전단에 의한 변형과 응력이 생기며, 하중의 작용선이 단면의 전단 중심과 편심을 가지는 경우 비틀림도 생기게 된다. 따라서 보의 설계에서는 이러한 부재응력을 안전하게 지지하는 방법을 고려하여야 한다.
보는 대별하여, 기둥을 연결하면서 작은 보를 지지하는 큰 보와 큰 보 사이에서 바닥판 또는 지붕 등을 지지하는 작은 보로 분류되며 중도리, 서까래, 린텔 등도 보의 범주에 속한다.
보의 형태는 그림 6-1과 같이 H형강, ㄷ형강, I형강 등의 단일재와 형강을 조립한 조립보 등이 있고, 특수 형태로 가공한 보로는 허니컴보와 평판보 등이 있으며, 최근에는 전단 연결재를 사용하여 철골보와 콘크리트 슬래브를 일체화한 합성보도 널리 쓰이고 있다.
보를 구조 설계하기 위해서는 보가 한계상태를 넘지 않도록 부재의 크기를 정하여야 한다. 한계상태는 이미 3장에서 기술된 바와 같이 최대 처짐이 한계값을 넘지 않아야 되는 사용성 한계상태와 하중의 효과가 부재의 지지 능력을 넘지 않아야 하는 강도 한계상태가 있다.
강도 한계상태는 부재가 파괴되는 경우에 따라 각각 다음과 같은 경우이다.
이와 같은 한계상태 외에도 집중하중을 받고 있는 보에서는 집중하중에 의하여 보의 웨브에서 한계상태에 도달되는 경우가 있다.
휨재의 한계상태 설계에서는 이런 여러 가지 한계상태 중 가장 불리한 조건에서의 공칭 휨강도에 강도 저감계수를 적용한 설계 휨강도가 하중계수를 적용하여 계산되는 소요 최대 모멘트 이상 되도록 부재 크기와 형태 및 재질을 선정하여야 한다.
부재에 비틀림이 생기지 않으면서 단순히 휘는 것을 순수휨이라고 하며, 하중의 작용선에 대하여 대칭면을 가진 부재에는 주로 순수휨에 의한 부재 응력이 생기게 된다. 이러한 휨응력은 보 이론에 의하면, 중립축으로부터의 거리에 비례하고 부재의 단면2차모멘트에 반비례하므로
\[ f = \frac{M}{I} \cdot y \tag{a} \]이 식에 의하면 최대 휨응력은 부재의 중립축으로부터 가장 먼 부분, 즉 부재의 바깥면에 생기며, 이 값을 \(\bar{y}\)로 나타내면
\[ f_{\max} = \frac{M \cdot \bar{y}}{I} \tag{b} \]가 된다. 이 식 (b)에서 부재의 단면계수는
\[ S = \frac{I}{\bar{y}} \tag{c} \]로 정의되며, 인장축과 압축축에서의 휨모멘트에 의한 최대 휨응력은
\[ f_t = \frac{M}{S_t}, \qquad f_c = \frac{M}{S_c} \tag{6-1} \]로 나타낼 수 있다. 식 (6-1)에서 \(M\)은 작용하는 휨모멘트이고 첨자 \(t\)와 \(c\)는 각각 인장축과 압축축을 뜻한다.
그림 6-3과 같이 임의의 방향에서 부재의 중심에 작용하는 하중 \(P\)의 작용선이 단면의 주축과 일치하지 않는 경우에는 단면의 주축에 작용하는 두 개의 힘 \(P_x = P\cos\theta\), \(P_y = P\sin\theta\)로 분해할 수 있으며 이 분력에 의하여 부재에는 \(M_x\), \(M_y\)의 2방향 휨모멘트가 생기게 된다. 이때에 단면에 생기는 최대 인장응력과 압축응력은 식 (6-1)을 \(x\), \(y\) 방향에 적용하여 구한 응력의 합으로 계산할 수 있다.
\[ f_t = f_{tx} + f_{ty} = \frac{M_x}{S_{tx}} + \frac{M_y}{S_{ty}}, \qquad f_c = f_{cx} + f_{cy} = \frac{M_x}{S_{cx}} + \frac{M_y}{S_{cy}} \tag{6-2} \]위의 식에서 첨자 \(x\), \(y\)는 부재 단면의 주축방향을 나타낸다.
그림 6-4와 같이 지점간 스팬 8 m의 단순보 중앙에 100 kN의 집중하중이 수직축에 30° 기울기로 작용하고 있다. 이러한 보를 H-400×400×13×21로 설계하였을 때 최대 인장 및 압축응력을 구하라.
[풀이] \(x\), \(y\) 방향의 하중 성분은
\[ P_x = 100\sin 30° = 50\,\text{kN}, \qquad P_y = 100\cos 30° = 86.6\,\text{kN} \]보의 중앙에서 \(x\)축과 \(y\)축에 대한 최대 휨모멘트 성분은
\[ M_x = \frac{P_y \cdot l}{4} = \frac{86.6 \times 8}{4} = 173.2\,\text{kN·m} \] \[ M_y = \frac{P_x \cdot l}{4} = \frac{50 \times 8}{4} = 100\,\text{kN·m} \]부표 3-6에서 H-400×400×13×21 형강의 단면계수는 \(S_x = 3{,}330 \times 10^3\,\text{mm}^3\), \(S_y = 1{,}120 \times 10^3\,\text{mm}^3\)이며, 양축에 대칭이므로 최대 인장응력과 압축응력은 모두
\[ f = \frac{M_x}{S_x} + \frac{M_y}{S_y} = \frac{173.2 \times 10^6}{3{,}330 \times 10^3} + \frac{100 \times 10^6}{1{,}120 \times 10^3} = 141.3\,\text{MPa} \]보는 휨모멘트와 함께 전단력을 받게 되며, 부재에 작용하는 전단력 \(V\)에 의하여 전단응력을 측정하는 지점의 단면 폭 또는 두께 \(b\)를 가진 임의의 단면에 생기는 전단응력 \(v\)는 보 이론에서 다음과 같이 계산된다.
\[ v = \frac{V \cdot G}{I \cdot b} \tag{6-3} \]여기서,
이 식을 사용하여 계산한 장방형 단면의 전단응력은 단면의 중앙에서 최대가 되며, 그 크기는 평균 전단응력의 1.5배가 된다. 보로 많이 사용되는 H형강이나 I형강에 있어서는 플랜지에서 웨브로 바뀌는 지점에서 단면의 폭이 갑자기 줄어들므로 전단응력은 웨브에서 급격히 커지며, 중립축에서 최대 전단응력은 전단력을 웨브의 단면적 \(A_w\)로 나눠 얻은 평균 전단응력보다 약간 큰 값을 가진다. 따라서 H형강과 같은 단면에 대하여서는 설계의 편의상 전단응력을 식 (6-3) 대신에 다음과 같은 약산식으로 계산하고 있다.
\[ v = \frac{V}{A_w} \tag{6-4} \]이 식에서 \(A_w\)는 웨브의 단면적을 뜻하나 전단응력계산에서는 보의 춤 \(d\)와 웨브의 두께 \(t_w\)의 곱으로 한다.
H-500×200×10×16의 보에 최대 전단력 180 kN이 작용할 때 단면에 생기는 전단응력의 크기를 계산하고 최대 전단응력과 평균 전단응력을 비교하라. 부재의 단면2차모멘트는 \(I_x = 478 \times 10^6\,\text{mm}^4\)이다.
[풀이] 플랜지의 위 끝과 아래 끝, 웨브의 위 끝, 웨브의 중앙부를 각각 A, B, C, D로 표시하면 각 지점에서의 중립축에 대한 단면1차모멘트는
\[ G_A = 0 \] \[ G_B = 200 \times 16 \times (500-16)/2 = 774.4 \times 10^3\,\text{mm}^3 \] \[ G_C = G_B = 774.4 \times 10^3\,\text{mm}^3 \] \[ G_D = G_C + 10 \times (250-16) \times (250-16)/2 = 1048.2 \times 10^3\,\text{mm}^3 \]따라서 각 지점에서의 전단응력은 식 (6-3)으로부터
\[ v_A = 0, \quad v_B = \frac{180 \times 10^3 \times 774.4 \times 10^3}{478 \times 10^6 \times 200} = 1.46\,\text{MPa} \] \[ v_C = \frac{180 \times 10^3 \times 774.4 \times 10^3}{478 \times 10^6 \times 10} = 29.1\,\text{MPa} \] \[ v_D = \frac{180 \times 10^3 \times 1{,}048.2 \times 10^3}{478 \times 10^6 \times 10} = 39.47\,\text{MPa} \]이 단면은 중립축에 대하여 대칭이므로 전단응력의 분포는 대칭으로 분포되며 최대 전단응력은 중립축에서의 전단응력 \(v_D\)가 된다. 평균 전단응력은 식 (6-4)로부터
\[ v_{av} = \frac{180 \times 10^3}{500 \times 10} = 36\,\text{MPa} \]따라서 최대 전단응력과 평균 전단응력의 비는
\[ \frac{v_{\max}}{v_{av}} = \frac{39.47}{36} = 1.096 \]최대 전단응력이 평균 전단응력보다 약 10% 더 큰 값을 가지게 됨을 알 수 있다.
ㄷ형강과 같이 하중의 작용선에 대하여 대칭면을 가지지 않는 부재는 작용하중이 중심(重心)을 통과하는 경우에도 휨과 함께 비틀림변형을 한다. 그러나 하중의 작용선이 단면의 어느 특정한 지점을 지날 때에는 부재에 비틀림을 일으키지 않는데, 이 점을 전단중심이라고 한다. 부재의 전단중심의 위치는 식 (6-3)으로 계산되는 전단응력과 외력에 의한 전단력의 휨모멘트 평형조건을 고려하여 구할 수 있다.
주축에 대칭이 아닌 부재에서는 전단중심과 도심이 일치하지 않으므로 그림 6-7과 같이 \(x\) 축에 대해서만 대칭인 ㄷ형강의 경우 \(x\) 축에서는 전단중심이 도심과 일치하나 \(y\) 축에서는 전단중심이 도심에서 \(x_c\)만큼 떨어진 거리에 생기게 된다. 이러한 단면의 도심에 대한 모멘트의 평형조건은
\[ V \cdot x_c - \int n(vt)\,ds = 0 \tag{d} \]으로 나타낼 수 있으며, 따라서 도심에서 전단 중심까지의 거리는
\[ x_c = \frac{1}{V} \int n(vt)\,ds \tag{6-5} \]으로 구할 수 있다. 식 (6-5)에서 \(vt\)는 전단응력과 부재 두께의 곱으로 단위 길이에서의 전단력을 나타내는 것으로 전단흐름이라고 하며 \(q\)로 표시하면, 전단흐름은 식 (6-3)으로부터
\[ q = \frac{V \cdot G}{I} \tag{6-6} \]이 된다.
ㄷ-300×90×9×13 형강의 전단 중심을 구하라.
[풀이] ㄷ-300×90×9×13 형강의 단면 성능은
\[ C_y = 22.3\,\text{mm}, \quad A = 4{,}857\,\text{mm}^2, \quad I_x = 64{,}400 \times 10^3\,\text{mm}^4 \]이며, ①지점과 ②지점의 단면1차모멘트는
\[ G_1 = A_f \cdot y_o = (90 \times 13) \times 143.5 = 167{,}895\,\text{mm}^3 \] \[ G_2 = G_1 + (150-13) \times 9 \times (150-13)/2 = 252{,}355\,\text{mm}^3 \]임의의 전단력 \(V\)에 대하여 식 (6-6)으로부터 ①지점과 ②지점의 전단흐름
\[ q_1 = \frac{V \cdot G_1}{I} = \frac{167{,}895\,V}{64{,}400 \times 10^3} = 0.0026\,V \] \[ q_2 = \frac{V \cdot G_2}{I} = \frac{252{,}335\,V}{64{,}400 \times 10^3} = 0.0039\,V \]②점에 대한 휨모멘트의 평형조건을 고려하면
\[ \sum M_{\textcircled{2}} = V \cdot m - \left[\frac{1}{2}(0.0026\,V) \times 90\right] \times 143.5 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 33.6\,\text{mm} \]따라서 전단중심은 웨브의 중심에서 33.6 mm 떨어진 곳에 위치하며, 이를 도심으로부터 계산하면
\[ x_c = m - \frac{t_w}{2} + C_y = 33.6 - 9/2 + 22.3 = 51.4\,\text{mm} \]외력의 합력이 단면의 전단 중심 이외의 지점에 작용하면, 전단 중심과 하중 작용점과의 편심에 의한 비틀림모멘트가 생겨 부재는 비틀림변형을 하게 된다.
부재의 비틀림에는 순수비틀림(pure torsion)과 뒤틀림(warping torsion)이 있다.
순수비틀림은 단면의 변형이나 길이 방향의 직응력을 일으키지 않고 단면 전체가 일정하게 각 변위를 일으키는 비틀림이다. 순수비틀림은 이 분야에 많은 연구업적을 남긴 프랑스의 생 브낭(Saint Venant)의 이름을 따 생브낭 비틀림이라고도 하며 \(T_s\)로 나타낸다. 순수비틀림에 의한 부재의 단위 길이당 비틀림각은
\[ \frac{d\phi}{dz} = \frac{T_s}{GJ} \tag{e} \]로 주어진다. 이 식에서 \(G\)는 전단탄성계수이고 \(J\)는 비틀림상수로 단면의 형태에 따라 다른 값을 가지는데, 두께 \(t\), 춤 \(b\)인 얇은 장방형 단면에서 비틀림상수는
\[ J = \frac{1}{3} b t^3 \tag{f} \]으로 근사적인 계산을 할 수 있고, H형강과 같은 부재는 플랜지와 웨브에 대하여 식 (f)로 계산한 후 그 합을 비틀림상수로 한다. 식 (e)에서 \(GJ\)는 주어진 비틀림모멘트 \(T_s\)에 의한 단위 길이당 각 변위를 억제하는 상수로 이를 비틀림강성이라고 한다. 식 (e)로부터 순수비틀림 모멘트는
\[ T_s = GJ \frac{d\phi}{dz} \tag{6-6} \]으로 나타낼 수 있다.
얇은 단면의 부재가 비틀림변형을 할 때에는 전단 중심축 이외의 단면에 압축 또는 인장응력을 일으키는 뒤틀림변형을 동반하게 된다. 이러한 현상을 H형강에서 고찰하면, 단면에 작용하는 뒤틀림모멘트는 양쪽 플랜지에 작용하는 힘 \(V_f\)의 우력이 되며, 이 힘은
\[ V_f = \frac{T_w}{h} \tag{g} \]로 계산할 수 있다. 변형된 부재의 전단 중심에서의 각 변위를 \(\phi\)라고 하면 횡변위는
\[ u_f = \frac{h}{2}\phi \tag{h} \]가 되며, 이러한 횡변위에 의한 곡률과 플랜지에 \(V_f\)에 의하여 생기는 휨모멘트 \(M_f\)와의 관계는 보 이론으로부터
\[ M_f = -EI_f \frac{d^2 u_f}{dz^2} \tag{i} \]가 된다. 이 식에서 \(I_f\)는 한 플랜지의 \(y\)축에 대한 단면2차모멘트이며 \(V_f = dM_f/dz\)의 관계를 가지게 된다. 따라서 뒤틀림모멘트는
\[ T_w = -EC_w \frac{d^3\phi}{dz^3} \tag{6-7} \]으로 나타낼 수 있으며, 이에 대한 일반적인 공식은 식 (6-7)과 같다. 이 식에서 \(C_w\)는 뒤틀림상수이다. H형강의 뒤틀림상수는 식 (6-7)과 식 (j)로부터 \(I_f \cdot h^2/2\)이 되며, 일반적으로 H형강에 있어서 \(I_y\)는 \(I_f\)의 약 2배가 되므로 \(C_w = I_y\left(\dfrac{h}{2}\right)^2\)의 값을 가지게 된다.
앞에서 거론된 바와 같이 얇은 단면의 부재에는 순수비틀림변형에 뒤틀림변형이 추가되므로 전 비틀림모멘트 \(T\)는 순수비틀림 모멘트 \(T_s\)와 뒤틀림모멘트 \(T_w\)의 합으로
\[ T = T_s + T_w = GJ\frac{d\phi}{dz} - EC_w\frac{d^3\phi}{dz^3} \tag{6-8} \]의 미분방정식을 얻게 된다. 이 방정식의 해(解)는
\[ \phi = C_1\sinh\mu z + C_2\cosh\mu z + C_3 + \frac{T}{GJ}z, \qquad \mu = \sqrt{\frac{GJ}{EC_w}} \tag{6-9} \]으로 주어지며, 상수 \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\)는 부재의 경계조건에서 구하게 된다.
스팬 6 m의 H-390×300×10×16의 형강보 중앙에 집중하중 80 kN이 중심에서 100 mm의 편심거리에 작용할 때 비틀림변형과 응력을 구하라.
[풀이] (1) 단면 성능과 비틀림모멘트
\[ T = \frac{1}{2} \times 80 \times 100 = 4{,}000\,\text{kN·mm} \] \[ I_y = 72.1 \times 10^6\,\text{mm}^4, \quad C_w = \frac{72.1 \times 10^6}{4}(390-16)^2 = 2{,}521{,}265 \times 10^6\,\text{mm}^6 \] \[ J = \frac{1}{3}\left[390 \times (10)^3 + 300 \times (16)^3 \times 2\right] = 949.2 \times 10^3\,\text{mm}^4 \] \[ \mu = \sqrt{\frac{GJ}{EC_w}} = \sqrt{\frac{949.2 \times 10^3}{2.6 \times 2{,}521{,}265 \times 10^6}} = 0.00038\,\text{mm}^{-1} \](2) 변형방정식: 경계조건은 보 중앙(\(z=0\))에서 \(\phi = \phi' = 0\), 보 단부(\(z=l\))에서 \(\phi = 0\)이므로
\[ \phi = \frac{T}{GJ\mu}\left[\tanh\mu l(\cosh\mu z - 1) - \sinh\mu z + \mu z\right] \](3) 부재응력: 뒤틀림에 의한 플랜지의 최대 휨응력 (\(z=0\)에서)
\[ \sigma_{bw} = -E\frac{bh}{4}\left(\frac{d^2\phi}{dz^2}\right)_{z=0} = -\frac{bh}{4}\frac{E\mu}{GJ}T\tanh\mu l = 95.11\,\text{MPa} \]외력에 의하여 플랜지에 생기는 휨응력
\[ \sigma_b = \frac{M}{S} = \frac{80 \times 6 \times 10^3/4}{387 \times 10^6/(390/2)} = 60.5\,\text{MPa} \]최대 휨응력은 보 중앙의 플랜지 끝에 생기며, 그 크기는
\[ (\sigma_b)_c = \sigma_b + \sigma_{bw} = 60 + 95.11 = 155.61\,\text{MPa} \]보에 휨모멘트가 작용하면 처음에는 휨변형을 하게 되지만 모멘트가 어떤 한계값 \(M_{cr}\)에 도달하면 압축측 플랜지가 압축재와 같이 좌굴을 일으켜 횡방향의 휨과 비틀림변형을 하게 된다. 이러한 현상을 횡좌굴이라고 하며, 횡방향의 변형을 구속할 수 있는 가새나 슬래브 등이 없는 보에서는 이러한 횡좌굴로 인하여 보의 허용내력이 현저하게 감소한다.
그림 6-13은 횡좌굴에 의한 부재의 변형을 나타낸 것으로, 단면의 횡방향의 변위를 \(u\), 비틀림각을 \(\phi\)라고 하면, 횡좌굴에서는 언제나 횡방향 변위와 각 변위가 동반되므로 이들 변위에 대한 미분방정식은 각각
\[ EI_y \frac{d^2u}{dz^2} + M_x \phi = 0 \tag{6-10a} \] \[ EC_w \frac{d^4\phi}{dz^4} - GJ\frac{d^2\phi}{dz^2} + M_x \frac{d^2u}{dz^2} = 0 \tag{6-10b} \]으로 주어진다. 이 식에서 \(C_w\)는 식 (6-7)에서 언급된 뒤틀림 단면상수로 H형 단면에서는
\[ C_w = \left(\frac{d}{2}\right)^2 I_y \tag{6-11} \]의 값을 가지며, \(J\)는 식 (6-6)의 \(K_T\)와 같은 비틀림 상수로 폭 \(b\), 두께 \(t\)의 얇은 판 부재에서는 근사적으로
\[ J = \frac{1}{3}\sum b_i t_i^3 \tag{6-12} \]으로 계산된다.
식 (6-10)의 두 미분방정식은
\[ EC_w \frac{d^4\phi}{dz^4} - GJ\frac{d^2\phi}{dz^2} - \frac{M_x^2}{EI_{y\phi}} = 0 \tag{6-13} \]으로 줄일 수 있으며, 횡좌굴 해석의 첫 단계로 단순보의 양단에 일정한 모멘트 \(M_o\)가 작용하여 횡좌굴을 일으켰을 때 보 중앙의 비틀림 변형을 \(A\)로 하여
\[ \phi = A\sin\frac{\pi z}{L} \tag{a} \]으로 나타내면, 식 (6-13)의 적용에 의하여 횡좌굴 모멘트의 값은
\[ M_{o,cr} = \sqrt{\frac{\pi^2 EI_y GJ}{L^2} + \frac{\pi^4 E^2 I_y C_w}{L^4}} \tag{6-14} \]이 된다.
강재의 역학적 성질은 2장에서 다루고 있지만 소성이론에서는 이를 이상화하여 변형도 경화와 변형도 이력현상을 무시하고 완전 탄소성 재료로 가정한다. 이러한 재료의 성질은 보의 경우 하중·처짐곡선 또는 모멘트-곡률의 관계에서도 같은 형태로 적용된다.
부재의 어느 단면의 응력 상태가 항복점에 이르기 시작하면 완전 탄소성 재료로 가정한 강재는 그 이상의 하중을 받을 수 없으므로 소성 상태에 머무르게 되며 이를 소성화라고 한다. 외력을 증가시킬 경우, 그 단면의 전체가 점차 소성화하여 전 단면이 소성 상태에 들어갔을 때에는 이론상 무한한 변형이 허용되는 지점으로 바뀌게 된다. 이를 소성힌지(plastic hinge)라고 하며, 회전변형에 대한 저항, 즉 모멘트 지지 능력을 잃는 것으로 가정한다.
휨모멘트를 받는 보의 어느 단면의 응력은 탄성한계 내에서 평면 유지의 가정에 따라 중립축으로부터의 거리에 비례하여 바깥 단부가 항복점응력에 이르기까지는 선형분포를 보인다. 이때 단면의 바깥 단부응력이 항복점응력에 이르게 하는 모멘트를 항복모멘트라고 하며, 모멘트를 항복모멘트 이상으로 증가시킬 경우, 이미 항복 상태에 들어가 있는 단면은 항복점 응력 이상을 지지할 수 없기 때문에 보 단면의 소성역(塑性域)은 점차 중립축으로 접근하여 최종적으로는 전 단면이 소성 상태에 이르게 된다.
이때에는 그 단면에서 더 이상의 모멘트를 지지할 능력이 없기 때문에 조금만 더 모멘트를 증가시켜도 회전변형을 일으키는 소성힌지가 생기게 된다. 부재 단면이 완전 소성 상태에 이르게 하는 모멘트를 소성모멘트라고 하며, 소성모멘트 \(M_p\)와 항복모멘트 \(M_y\)의 비를 형상계수라고 한다.
소성힌지의 발생은 부정정 차수를 하나 줄이는 결과가 되며, 소성힌지가 생기기 됨에 따라 부정정 정도는 하나씩 줄어들고 끝에 가서는 이론상의 정정구조물이 되며, 이때 소성힌지가 생기는 것은 그 구조물이 파괴 상태에 이르게 됨을 의미한다. 이러한 파괴현상을 붕괴(崩壞)라고 하며 구조물을 붕괴에 이르게 하는 하중을 붕괴하중 또는 극한하중이라고 한다.
단면의 탄성 단면계수는 탄성역에서 그 단면의 휨모멘트 저항능력을 나타내며, 휨응력이 항복점에 도달하였을 때에는 항복강도와 항복모멘트에 관련하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[ S = \frac{M_y}{F_y} \tag{6-15} \]이에 대하여 소성 단면계수는 전 단면이 소성 상태에 이르기까지의 휨모멘트 저항능력을 나타내는 것으로, 항복강도와 소성모멘트에 관련하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
\[ Z = \frac{M_p}{F_y} \tag{6-16} \]탄성 단면계수는 부재의 단면2차모멘트를 중립축에서 단면의 가장 바깥쪽까지의 거리로 나누어 얻는 것이 일반적인 방법이나, 내부 저항모멘트를 계산하여 식 (6-15)로부터 얻을 수도 있다. 장방형 단면을 예로 들면, 단면의 내부 저항모멘트는
\[ M_y = \left(\frac{F_y bd}{4}\right)\left(\frac{2}{3}d\right) = \frac{F_y bd^2}{6} \tag{6-17} \]이며, 식 (6-15)로부터 우리가 이미 알고 있는 장방형 단면의 탄성 단면계수 \(S = bd^2/6\)을 얻게 된다. 같은 예에서 완전 소성 상태인 경우의 소성 저항모멘트는
\[ M_p = \left(\frac{F_y bd}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right) = \frac{F_y bd^2}{4} \tag{6-18} \]이 되며 식 (6-16)으로부터 장방형 단면의 소성 단면계수 \(Z = bd^2/4\)를 얻게 된다. 따라서 이러한 소성 단면계수를 구하는 식을 일반화하면
\[ Z = A_c \cdot y_c + A_t \cdot y_t \tag{6-19} \]으로 일반화할 수 있다. 여기서 \(A_c\), \(A_t\)는 중립축으로 나뉘는 압축 부분과 인장 부분의 단면적을 나타내고, \(y_c\), \(y_t\)는 압축 또는 인장응력의 중심(重心)에서 중립축까지의 거리이다.
형상계수는 소성모멘트와 항복모멘트의 비이나 이들을 다시 항복점응력 \(F_y\)로 나누었을 경우 소성 단면계수와 탄성 단면계수로 나타낼 수 있으므로
\[ k_s = \frac{M_p}{M_y} = \frac{Z}{S} \tag{6-20} \]으로 나타낼 수 있으며, 소성모멘트는 식 (6-20)과 (6-15)로부터
\[ M_p = F_y k_s S \tag{6-21} \]의 관계를 가지게 된다. 단면 형태에 따른 형상계수의 값은 그림 6-18과 같으며, 주요 H형강의 소성 단면 성능은 표 6-1과 같다.
그림 6-19와 같은 단면(플랜지 폭 400 mm, 플랜지 두께 25 mm, 웨브 높이 1,000 mm, 웨브 두께 16 mm)의 평판보의 소성 단면계수와 형상계수를 구하라.
[풀이]
\[ I = 400 \times (10^3)^3/12 - (400-16)(10^3 - 25 \times 2)^3/12 = 5{,}897 \times 10^6\,\text{mm}^4 \] \[ S = \frac{5{,}897 \times 10^6}{1{,}000/2} = 11{,}794 \times 10^3\,\text{mm}^3 \]부재가 소성화되었을 때 압축측 또는 인장측 중심(重心)까지의 거리
\[ \bar{y} = \frac{(400\times25)(25/2)+16\times(500-25)\left[(500-25)/2+25\right]}{400\times25+16\times(500-25)} = 120\,\text{mm} \]소성 단면계수는 식 (6-19)로부터
\[ Z = A_c \cdot y_c + A_t \cdot y_t = [400\times25+16\times(500-25)](500-120)\times 2 = 13{,}376\times10^3\,\text{mm}^3 \]형상계수
\[ k_s = \frac{Z}{S} = \frac{13{,}376}{11{,}794} = 1.134 \]휨모멘트에 의한 보의 한계상태는 부재의 비지지 길이 \(L_b\)에 따라 소성모멘트나 횡좌굴 모멘트 또는 국부좌굴 모멘트에 의하여 결정된다. 세장비에 따른 공칭 휨강도 영역을 그림 6-20과 같이 나타낼 수 있으며, 설계 휨강도는 공칭 휨강도 \(M_n\)에 휨강도저감계수 \(\phi_b = 0.9\)를 곱하여 얻게 된다.
휨재의 비지지 길이가 작은 경우에는 부재의 단면이 소성힌지가 될 때 한계상태에 도달하게 되며, 그림 6-20에서 비지지 길이 \(L_b\)가 소성한계 비지지 길이 \(L_p\)보다 작은 경우이다. 소성한계 비지지 길이는 실험 결과를 토대로 제시되었으며, 다음의
\[ L_p = 1.76 r_y \sqrt{\frac{E}{F_y}} \tag{6-22} \]으로 정의되며, 이 식에서 \(r_y\)는 휨재 약축의 단면2차반경이다.
보의 소성모멘트는 6-4절에서 설명된 바와 같이 전 단면의 휨응력이 항복강도를 넘어 소성힌지가 발생할 때의 모멘트이며, 소성 단면계수 \(Z\)가 주어졌을 때 소성모멘트 식 (6-20)으로부터
\[ M_p = ZF_y \tag{6-23} \]으로 주어진다. 그림 6-21과 같은 대칭 H형강의 소성 단면계수는 \(A_c = A_t = A/2\), \(y_c = y_t\)이므로
\[ Z = A y_t \tag{6-24} \]으로 계산된다. 소성힌지의 발생에 의하여 한계상태에 이르는 경우 공칭 휨강도는 소성모멘트가 되기 때문에 설계 휨강도는
\[ \phi_b M_n = \phi_b M_p \tag{6-25} \]이 되며, 휨강도 저감계수는 전술한 바와 같이 0.9의 값을 가진다.
양단 단순지지 되어 있는 스팬 9 m의 H-400×200×8×13 형강보에 \(w_D = 14\,\text{kN/m}\), \(w_L = 6\,\text{kN/m}\)의 등분포하중이 작용할 때 보의 구조 안전성을 검토하라. 형강의 재질은 SN 275이고, 보는 슬래브에 의해 압축플랜지가 0.3 m마다 횡방향 지지되어 있다.
[풀이]
\[ w_u = 1.2 w_D + 1.6 w_L = 1.2\times14 + 1.6\times6 = 26.4\,\text{kN/m} \] \[ M_u = \frac{w_u l^2}{8} = \frac{26.4\times9^2}{8} = 267.3\,\text{kN·m} \]H-400×200×8×13의 단면 성능: \(A = 8{,}412\,\text{mm}^2\), \(S_x = 1{,}190\times10^3\,\text{mm}^3\), \(r_y = 45.4\,\text{mm}\)이며, 횡방향 비지지 거리는 \(L_b = 300\,\text{mm}\). 소성한계 비지지 길이는
\[ L_p = 1.76\times45.4\times\sqrt{\frac{210{,}000}{275}} = 2{,}208\,\text{mm} \]\(L_b < L_p\)이므로 설계 휨강도는 소성모멘트에 의하여 결정된다. 중립축으로부터 인장측 단면 중심까지의 거리는
\[ y_t = \frac{200\times13\times(200-13/2)+(200-13)^2\times8.0/2}{200\times13+(200-13)\times8.0} = 157.0\,\text{mm} \] \[ Z = Ay_t = 8{,}412\times157.0 = 1{,}320.7\times10^3\,\text{mm}^3 \] \[ M_p = ZF_y = 1{,}326{,}260\times275\times10^{-6} = 364.7\,\text{kN·m} \] \[ \phi_b M_n = \phi_b M_p = 0.9\times364.7 = 328.23\,\text{kN·m} > M_u = 267.3\,\text{kN·m} \quad \therefore \text{안전} \]휨재의 횡변위를 구속하는 비지지 길이 \(L_b\)가 소성한계 비지지 길이 \(L_p\)보다 긴 경우에는 부재는 보의 모든 응력이 항복응력에 도달하지 못한 상태에서 횡좌굴에 의해 보가 한계상태에 이르게 된다. 탄성 횡좌굴 영역과 비탄성 횡좌굴 영역을 구분하는 비지지 길이의 구분을 탄성한계 비지지 길이 \(L_r\)이라 하며 다음의 식으로 한다.
\[ L_r = 1.95 r_{ts} \frac{\sqrt{X_2}}{X_1} \sqrt{1+\sqrt{1+6.76\left(\frac{X_1}{X_2}\right)^2}} \tag{6-26} \] \[ r_{ts}^2 = \frac{\sqrt{I_y C_w}}{S_x} \tag{6-27} \] \[ X_1 = \frac{0.7F_y}{E}, \qquad X_2 = \frac{J_c}{S_x h_o} \tag{6-28} \]여기서 \(X_1\)과 \(X_2\)는 식의 간략화를 위한 매개변수이고, \(J\)는 6.2.4절에 소개된 단면의 비틀림상수이며, \(h_o\)는 상·하 플랜지의 중심거리이다.
탄성좌굴 횡좌굴 모멘트는 식 (6-14)이나, 이것은 부재 전체길이에 동일한 분포의 모멘트가 작용할 때의 횡좌굴 모멘트이며, 실제의 보에는 모멘트 분포가 변하므로 이에 따른 횡좌굴 모멘트 수정계수 \(C_b\)를 적용하고, 식 (6-28)의 매개변수와 강재 재료의 역학적 계수값 \(2G/\pi^2 E = 0.078\)을 적용하면 횡좌굴 모멘트는
\[ M_{cr} = C_b S_x \frac{\pi^2 E}{(L_b/r_{ts})^2} \sqrt{1+0.078 X_2 (L_b/r_{ts})^2} \tag{6-30} \]이며, 횡좌굴 응력 \(F_{cr}\)은
\[ F_{cr} = \frac{M_{cr}}{S_x} = C_b \frac{\pi^2 E}{(L_b/r_{ts})^2} \sqrt{1+0.078 X_2 (L_b/r_{ts})^2} \tag{6-31} \]로 나타낼 수 있다. 이 식에서 \(C_b\)는 보 양단의 상이한 모멘트를 동일한 모멘트로 치환하는 모멘트 수정계수
\[ C_b = \frac{12.5 M_{\max}}{2.5 M_{\max} + 3M_A + 4M_B + 3M_C} R_m \leq 3.0 \tag{6-32} \]로 주어지며, 부재에 분포된 모멘트의 항으로 나타내고 있다. 여기서 \(M_A\), \(M_B\), \(M_C\)는 각각 비지지구간의 1/4지점, 중앙점, 3/4지점의 모멘트 크기의 절대값이며, \(M_{\max}\)는 비지지구간에서의 최대모멘트의 절대값을 나타낸다. 또한, \(R_m\)은 단면형상계수로 2축대칭부재, 1축대칭 단곡률 부재인 경우 1.0의 값을 가진다.
한계상태 설계기준에서 공칭모멘트 강도 \(M_n\)는 보 부재의 비지지 길이에 따라 다음과 같이 규정하고 있다.
설계 휨강도는 공칭모멘트 강도에 휨강도 저감계수를 곱한 값 \(\phi_b M_n\)이 되며, 휨강도 저감계수는 0.9의 값을 가진다.
휨을 받는 부재는 횡좌굴 현상뿐만 아니라 국부좌굴 현상에 의해서도 한계상태에 도달할 수 있다. 횡좌굴 강도가 부재의 비지지 길이 \(L_b\)에 의해 결정되는 것과 달리 국부좌굴 강도는 단면을 구성하고 있는 판 요소의 판폭 두께비 \(\lambda\)에 의해 공칭 휨강도 \(M_n\)이 결정된다. H형강 단면을 구성하고 있는 판 요소는 플랜지와 웨브가 있으며 국부좌굴 현상도 플랜지 국부좌굴과 웨브 국부좌굴로 구분하여 판폭 두께비를
\[ \text{플랜지 국부좌굴시} \quad \lambda = \frac{b}{t_f} \tag{6-37} \] \[ \text{웨브 국부좌굴시} \quad \lambda = \frac{h}{t_w} \tag{6-38} \]으로 하며, 공칭 휨강도 \(M_n\)을 구하여 이 중 작은 값을 국부좌굴 휨강도로 한다. 판폭 두께의 범위에 따라 보 부재의 국부좌굴에 따른 공칭 휨강도는 다음과 같이 규정되어 있다.
여기서 탄성한계 좌굴모멘트 \(M_r\)은 식 (6-33)으로 계산되며, 좌굴강도 \(F_{cr}\)은 플랜지 국부좌굴이 고려되는 경우
\[ F_{cr} = \frac{0.9 E k_c}{\lambda^2} \tag{6-42} \]으로 계산되며, 웨브의 국부좌굴에는 해당되지 않는다.
스팬이 짧은 보나 웨브 폭이 큰 보에서는 휨모멘트보다 전단력의 영향이 커서 극한하중 상태에서 휨파괴보다 전단파괴가 먼저 일어날 수 있다. 보의 전단에 의한 한계상태는, 단부 접합부의 볼트 구멍을 연결하는 결손단면의 전단파괴를 예외로 하면, 웨브판이 전단항복하는 경우와 전단좌굴하는 경우로 생각할 수 있다.
평판의 전단좌굴 이론에 의하면 높이 \(h\), 스티프너 간격 \(a\), 두께 \(t_w\)인 웨브의 탄성 전단 좌굴강도는
\[ F_{es} = \frac{\pi^2 E k_v}{12(1-\nu^2)(h/t_w)^2} \tag{6-43} \]으로 주어지며, 강재의 재료 상수 \(\nu = 0.3\)으로 하면 좌굴강도 계산식은
\[ F_{es} = \frac{0.9 E k_v}{(h/t_w)^2} \tag{6-44} \]이 된다. 이 식에서 \(k_v\)는 변의 비 \(a/h\)에 따른 평판의 전단 좌굴계수이나, 강구조설계기준에서는 이 두 식을 하나의 식으로 대체하여
\[ k_v = 5 + \frac{5}{(a/h)^2} \tag{6-45} \]으로 하고 있고, \(a/h\)가 3.0 또는 \([260/(h/t_w)]^2\)을 초과하는 경우와 스티프너가 요구되지 않을 때에는 \(k_v = 5\)로 하며, \(h/t_w < 260\)인 T형강 스텝에서는 \(k_v = 1.2\)로 하도록 규정되어 있다.
판폭 두께비 범위에 따라 보 부재의 웨브 공칭 전단강도를 다음과 같이 규정하고 있다.
① \(h/t_w \leq 1.10\sqrt{k_v E/F_{yw}}\) 일 때
\[ V_n = 0.6 F_{yw} A_w C_v, \qquad C_v = 1.0 \tag{6-47} \]② \(1.10\sqrt{k_v E/F_{yw}} < h/t_w \leq 1.37\sqrt{k_v E/F_{yw}}\) 일 때
\[ V_n = 0.6 F_{yw} A_w C_v, \qquad C_v = \frac{1.1\sqrt{k_v(E/F_y)}}{(h/t_w)} \tag{6-48} \]③ \(1.37\sqrt{k_v E/F_{yw}} < h/t_w \leq 260\) 일 때
\[ V_n = 0.6 F_{yw} A_w C_v, \qquad C_v = \frac{1.51 E k_v}{(h/t_w)^2 F_y} \tag{6-49} \]위의 식에서 \(C_v\)는 웨브의 전단좌굴 감소계수이고, \(A_w\)는 웨브 판의 단면적이고, \(0.6 F_{yw}\)는 웨브의 전단 항복강도이며, 식 (6-49)는 식 (6-44)에서 유래되는 좌굴강도에 전단 면적을 곱하여 얻어지는 공칭 전단강도이다.
웨브의 설계 전단강도는 위의 식에서 산정되는 공칭 전단강도 \(V_n\)에 전단 강도저감계수 \(\phi_v = 0.9\)를 곱한 값으로 하고, \(h/t_w \leq 2.24\sqrt{E/F_y}\)인 압연 H형강의 웨브는 \(\phi_v = 1.0\), \(C_v = 1.0\)으로 한다.
예제 6-6에서 H-400×200×8×13 형강 보 웨브의 전단에 대한 구조 안전성을 검토하라.
[풀이] 소요 등분포하중은 \(w_u = 26.4\,\text{kN/m}\)이므로 보의 최대 전단력은 양 단부에서
\[ V_u = \frac{w_u l}{2} = \frac{26.4\times9}{2} = 118.8\,\text{kN} \]판폭 두께비를 검토하면
\[ \lambda = \frac{h}{t_w} = \frac{400-2\times(13+16)}{8} = 42.75 \leq 2.24\sqrt{E/F_y} = 61.90 \] \[ 1.10\sqrt{k_v E/F_{yw}} = 1.10\sqrt{5\times\frac{210{,}000}{275}} = 67.97 > \lambda = 42.75 \]따라서 공칭 전단강도는 식 (6-47)로부터
\[ V_n = 0.6\times275\times(400\times8.0)\times1.0\times10^{-3} = 528.0\,\text{kN} \]설계 전단강도는
\[ \phi_v V_n = 1.0\times528.0 = 528.0\,\text{kN} > V_u = 118.8\,\text{kN} \quad \therefore \text{안전} \]H형강 보의 플랜지에 수직으로 인장력이나 압축력 또는 반력이 집중하중의 형태로 작용할 때 힘을 받는 플랜지와 웨브는 플랜지의 국부 휨, 웨브의 국부 항복 또는 크립플링 등에 의하여 한계상태에 도달할 수 있으므로, 이에 대한 설계강도가 검토되어야 한다. 웨브의 집중하중 작용점 옆으로 한 쌍의 스티프너가 작용면으로부터 웨브 단면 높이의 1/2 이상 설치되어 있는 경우에는 위의 설계강도를 검토하지 않아도 된다.
보의 플랜지에 수직으로 용접된 판에 인장력이 작용하면 보의 플랜지에는 이 인장력의 작용에 의하여 국부적으로 휨모멘트가 발생한다. 이에 대한 플랜지의 공칭 휨강도와 휨 강도저감계수는
\[ R_n = 6.25 \times t_f^2 F_{yf}, \qquad \phi_l = 0.9 \tag{6-50} \]으로 규정되어 있다. 설계에서는 플랜지의 국부 휨강도 \(\phi_l R_n\)이 용접판에 작용하는 소요 인장력 \(R_u\) 이상이 되도록 하여야 한다. 그러나 용접된 인장재 폭이 플랜지 폭의 0.15배 이하인 경우에는 플랜지의 국부 휨강도를 검토하지 않아도 된다. 부재 단부로부터 집중하중에 저항하는 거리가 \(10t_f\) 미만인 경우 식 (6-50)의 \(R_n\) 값을 50% 저감한다.
H형강의 웨브에 대칭인 집중하중이 작용할 때 압축응력은 그림 6-26에 표시된 바와 같이 플랜지와 웨브의 접합 필렛이 끝나는 부분의 단면에서 가장 커져 국부항복이나 국부좌굴을 일으킬 우려가 있다. 보의 플랜지에 작용하는 집중하중은 수직 1에 수평 2.5의 기울기 이상으로 퍼져 나가는 것으로 밝혀져 강구조 설계기준에서는 1:2.5의 기울기로 하고 있다. 웨브의 국부항복에 대하여 공칭 강도 및 강도 저감계수를 다음과 같이 규정하고 있다.
① 인장 또는 압축 집중력의 작용점이 보의 단부에서 부재 높이 \(d\) 이상 떨어져 있을 때
\[ R_n = (5k + l_c) t_w F_{yw}, \qquad \phi_l = 1.0 \tag{6-51} \]② 인장 또는 압축 집중력의 작용점이 보의 단부에서 \(d\) 이내의 거리에 있을 때
\[ R_n = (2.5k + l_c) t_w F_{yw}, \qquad \phi_l = 1.0 \tag{6-52} \]위의 식에서 \(k\)는 플랜지 표면에서 웨브 필렛 선단까지의 거리이며, \(l_c\)는 집중력이 작용하는 폭을 나타낸다.
집중하중이 압축력으로 보에 작용하는 경우에는 웨브 필렛 선단의 취약부분의 항복여부가 6.7.2항에서 다뤄졌으며, 이전의 설계기준에서는 국부항복과 국부좌굴이 같은 기준식으로 검토되었다. 그러나 최근 웨브의 크립플링은 안정성에 관련된 것으로 국부항복과 구별되는 것이 많은 연구에서 지적되어 이 부분에 대한 설계기준이 안정 이론을 근거로 하여 다음과 같이 새로 설정되었다.
① 집중력이 재단에서 \(d/2\) 이상 떨어진 위치에서 작용할 때
\[ R_n = 0.80 t_w^2 \left[1 + 3\frac{l_c}{d}\left(\frac{t_w}{t_f}\right)^{1.5}\right] \sqrt{\frac{EF_{yw} t_f}{t_w}}, \qquad \phi_l = 0.75 \tag{6-53} \]② 집중력이 재단에서 \(d/2\) 미만 떨어진 위치에서 작용할 때
\(l_c/d \leq 0.2\)인 경우:
\[ R_n = 0.40 t_w^2 \left[1 + 3\frac{l_c}{d}\left(\frac{t_w}{t_f}\right)^{1.5}\right] \sqrt{\frac{EF_{yw} t_f}{t_w}}, \qquad \phi_l = 0.75 \tag{6-54} \]\(l_c/d > 0.2\)인 경우:
\[ R_n = 0.40 t_w^2 \left[1 + \left(\frac{4l_c}{d}-0.2\right)\left(\frac{t_w}{t_f}\right)^{1.5}\right] \sqrt{\frac{EF_{yw} t_f}{t_w}}, \qquad \phi_l = 0.75 \tag{6-55} \]SN 400 재질의 H-500×200×10×16 형강보의 소성모멘트와 양단 고정된 경우의 소성 한계 비지지 길이를 구하라.
아래 보의 설계 휨강도 \(\phi M_n\)을 계산하라. 형강의 재질은 SN 275이고, \(C_b = 1.0\)으로 가정한다.
아래의 조건을 만족시키면서 가장 가벼운 보를 선정하라. 형강의 재질은 SN 275이며, 보의 자중은 하중에 포함된 것으로 한다.
스팬 12.0 m의 양단 단순지지된 보의 부재로 SN 275 재질의 H-488×300×11×18 형강이 사용될 때 아래의 조건에 대하여 설계 휨강도 \(\phi_b M_n\)을 구하라.
SN 275 재질의 H-496×199×9×14 형강이 그림 6-27 (a)~(d) 같은 형태의 보로 사용될 때 지지할 수 있는 최대 계수 등분포하중 \(w_u\)를 구하라. 각 지점간 거리는 일정하게 8.0 m로 하고 횡구속 가새는 보 중앙에 설치된 것으로 한다.
그림 6-28과 같은 배열의 보가 12 m 두께의 철근 콘크리트 슬래브와 0.8 kN/m²의 마감 및 천장과 2.4 kN/m²의 활하중을 지지할 때 한계상태 설계법으로 적절한 H형강 부재를 선정하라. 보-기둥 및 큰 보와 작은 보는 단순 접합되어 있고, 강재의 재질은 SN 275로 한다.
문제 6-3의 (2)에서 집중하중이 H-100×100×6×8 샛기둥을 통하여 보에 전달될 때 보 웨브의 크립플링을 검토하라.
SN 275 재질의 H-500×200×10×16 형강 양 플랜지에 같은 재질의 강판 PL19×240을 용접한 조립부재를 스팬 12 m의 단순보로 하고 보 중앙에 횡구속 가새를 설치하였을 때 이 조립보가 지지할 수 있는 계수 등분포하중 \(w_u\)를 계산하라.