보는 부재의 길이 방향 축에 대해 가로(횡)하중을 지지하는 구조요소로, 횡하중에 의해 주로 휨모멘트와 전단력이 발생한다. 보에는 변형(처짐)과 함께 휨에 의한 수직응력 및 전단응력이 생기며, 설계 시에는 이러한 응력과 변형을 안전하게 지지하도록 단면 및 지지조건을 결정한다.
보가 파괴 또는 사용 불능이 되지 않도록 강도와 사용성을 함께 검토한다. 하중이 커질 때 보의 대표적인 한계상태 예시는 다음과 같다.
또한 보에 작용하는 집중하중은 지지부 또는 하중 작용점에서 국부 응력집중을 유발할 수 있으므로, 단면 선택 및 보강(스티프너 등)을 통해 국부 안전성을 확보한다.
보 단면의 응력은 크게 (1) 휨모멘트에 의한 수직응력, (2) 전단력에 의한 전단응력, (3) 전단중심 편심 또는 외력에 의한 비틀림응력으로 나뉜다.
순수휨(pure bending) 상태에서 단면 내 휨응력은 중립축으로부터의 거리 \(y\)에 비례하여 분포하며, 탄성휨 이론에 의해 다음과 같이 주어진다.
\[ f = \frac{M}{I}y,\qquad f_{max}=\frac{M}{I}y_{max} \]
단면계수(section modulus)는 \[ S=\frac{I}{y_{max}} \] 로 정의되며, 인장측과 압축측이 대칭인 경우(대칭 단면)에는 같은 \(S\)를 사용한다. 일반적으로 인장측/압축측 단면계수를 각각 \(S_t, S_c\)로 두면,
\[ f_t=\frac{M}{S_t},\qquad f_c=\frac{M}{S_c} \tag{6-1} \]
하중이 단면의 주축과 일치하지 않으면, 단면에는 두 축에 대한 휨모멘트 \(M_x, M_y\)가 동시에 생긴다. 이때 응력은 각 축에 대한 응력의 중첩으로 계산한다.
\[ f_t=f_{tx}+f_{ty}=\frac{M_x}{S_{tx}}+\frac{M_y}{S_{ty}},\qquad f_c=f_{cx}+f_{cy}=\frac{M_x}{S_{cx}}+\frac{M_y}{S_{cy}} \tag{6-2} \]
경사하중 \(P\)는 \(P_x=P\cos heta\), \(P_y=P\sin heta\)로 분해되고, 각각이 \(M_x, M_y\)를 유발한다. 중앙에서의 응력은 식 (6-2)로 계산한다. (발췌본 예제에서는 H-400 단면과 \(P=100\,kN\), \( heta=30^\circ\) 조건에서 \(M_x, M_y\)를 산정하고, 단면계수 \(S_x, S_y\)를 이용해 응력을 계산한다.)
전단력 \(V\)에 의한 전단응력은 단면의 위치에 따라 분포가 달라지며, 탄성 전단 공식은 다음과 같이 표현된다.
\[ v=\frac{V\cdot G}{I\cdot b} \tag{6-3} \]
여기서 \(G\)는 전단응력을 구하고자 하는 위치에서의 1차 모멘트(전단면 상부/하부 면적의 중립축에 대한 모멘트), \(I\)는 단면2차모멘트, \(b\)는 해당 위치에서의 폭(예: 웨브 두께)이다.
H형강처럼 전단을 주로 웨브가 부담하는 단면에서는 설계 편의를 위해 평균 전단응력을 \[ v \approx \frac{V}{A_w} \tag{6-4} \] 로 근사하기도 한다. 여기서 \(A_w\)는 웨브의 전단면적(통상 웨브 두께 \( imes\) 웨브 높이)이다.
발췌본 예제에서는 H-500×200×10×16 단면에 전단력 \(V=180\,kN\)이 작용할 때, 식 (6-3)으로 계산한 최대 전단응력과 식 (6-4) 평균 전단응력을 비교하여 최대/평균 비가 약 1.10 수준임을 보여준다.
전단력의 작용선이 단면의 전단중심을 지나지 않으면 전단력은 비틀림모멘트를 함께 유발한다. 단면의 전단중심은 전단흐름의 평형 조건으로부터 구할 수 있다.
전단흐름 \(q\)는 얇은 판요소에서 \[ q=\frac{V\cdot G}{I} \tag{6-6} \] 로 표현되며, (단위 길이당 전단력)이고 전단응력은 \(v=q/t\) 형태로 연결된다.
전단중심 위치를 구하기 위한 모멘트 평형(개념)은 다음 형태로 정리된다. \[ V\cdot x_c-\int n(vt)\,ds=0,\qquad x_c=\frac{1}{V}\int n(vt)\,ds \tag{6-5} \] (여기서 \(n\)은 도심 기준의 모멘트팔, \(t\)는 두께, \(ds\)는 단면 둘레 방향 미소 길이)
발췌본 예제에서는 C-300×90×9×13 단면에 대해 전단흐름을 구하고, 모멘트 평형으로 전단중심이 도심에서 플랜지 외측으로 이동함을 계산한다.
비틀림각을 \(\phi\)라 하면, 순수비틀림에서의 비틀림모멘트 \(T_s\)는 \[ T_s = GJ \frac{d\phi}{dz} \] 로 주어진다. \(G\)는 전단탄성계수, \(J\)는 비틀림상수(단면 형상에 의존)이다. 얇은 직사각형 판요소(폭 \(b\), 두께 \(t\))는 근사적으로 \[ J=\frac{1}{3}bt^3 \] 를 사용하며, H형강은 플랜지와 웨브 판요소의 합으로 \(J\)를 근사한다.
H형강처럼 개단면(open section)에서는 비틀림 시 단면이 평면을 유지하지 못하고 뒤틀림(warping)이 생긴다. 플랜지에서의 뒤틀림 변위 \(u_f\)는(개념적으로) \[ u_f=\frac{h}{2}\phi \tag{h} \] 로 두고, 이에 의해 발생하는 휨모멘트(뒤틀림에 의한)는 \[ M_f=-EI_f\frac{d^2u_f}{dz^2} \tag{i} \] 형태로 연결된다.
순수비틀림 모멘트 \(T_s\)와 뒤틀림비틀림 모멘트 \(T_w\)를 합한 전체 비틀림모멘트는 \[ T = T_s + T_w = GJ\frac{d\phi}{dz}-EC_w\frac{d^3\phi}{dz^3} \tag{6-8} \] 로 정리된다. 여기서 \(C_w\)는 뒤틀림단면상수(warping constant)이다. 위 미분방정식의 해는(상수는 경계조건으로 결정) \[ \phi = C_1\sinh(\mu z)+C_2\cosh(\mu z)+C_3 z + \frac{T}{GJ}z,\qquad \mu=\sqrt{\frac{GJ}{EC_w}} \tag{6-9} \] 와 같은 형태가 된다.
발췌본 예제에서는 특정 H형강 보에 대해 \(C_w, J, \mu\)를 산정하고, 경계조건을 적용해 \(\phi(z)\)를 구한 뒤 뒤틀림에 의한 수직응력, 전단응력(뒤틀림/순수비틀림/전단력 기여)을 계산한다.
소성해석에서는 이상화된 재료 거동(탄성-완전소성 또는 단순화된 응력-변형률 관계)을 사용하여, 단면이 항복 후에도 일정 범위의 변형을 허용할 수 있다고 본다. 휨을 받는 보 단면은 하중 증가에 따라 탄성상태 → 부분 항복 → 전단면 항복(전 소성)으로 진행하며, 전 단면이 소성상태가 되면 더 이상의 모멘트 증가 없이 큰 회전이 발생할 수 있다.
단면의 일부가 항복한 뒤 하중이 더 증가하여 단면 전체가 항복 상태에 이르면, 그 단면은 모멘트 증가 없이 회전이 집중되는 소성힌지로 거동한다. 소성힌지의 발생 위치와 개수에 따라 보/골조의 붕괴기구가 결정된다.
탄성상태에서의 항복모멘트는 \[ M_y = F_y S \] 로 정의되며, \(S\)는 탄성단면계수이다(예: \(S=I/y_{max}\)). 반면 전 단면이 항복한 소성상태에서의 소성모멘트는 \[ M_p = F_y Z \] 로 정의되며, \(Z\)는 소성단면계수(plastic section modulus)이다.
형상계수(shape factor)는 \[ R_m=\frac{M_p}{M_y}=\frac{Z}{S} \] 로 정의되어, 같은 항복강도 \(F_y\)에서 단면 형상이 소성모멘트 여유를 얼마나 제공하는지 나타낸다.
발췌본에서는 탄성 단면계수의 정의로 다음 관계를 제시한다. \[ S=\frac{M_y}{F_y} \tag{6-15} \] (기호는 문맥에 따라 \(S_x, S_y\) 등으로 구분될 수 있음)
보가 휨을 받을 때 압축 플랜지에서 좌굴이 발생하면, 보의 측면 변위(횡변위)와 단면 비틀림이 결합된 횡비틀림좌굴이 발생할 수 있다. 슬렌더한 보에서는 휨강도보다 먼저 횡비틀림좌굴이 지배할 수 있으므로, 지지조건(횡지지 간격), 단면(비틀림 강성), 하중 작용 위치 등을 함께 고려한다.
발췌본에서는 횡변위 \(u\)와 비틀림각 \(\phi\)에 대해 다음 형태의 연립 미분방정식을 제시한다.
\[ EI_y\frac{d^2u}{dz^2}+M_0\phi=0 \tag{6-10a} \] \[ EC_w\frac{d^4\phi}{dz^4}-GJ\frac{d^2\phi}{dz^2}+\frac{M_0^2}{EI_y}\phi=0 \tag{6-13} \]
여기서 \(I_y\)는 약축(횡방향) 단면2차모멘트, \(J\)는 비틀림상수, \(C_w\)는 뒤틀림단면상수이며, H형 단면에 대해서는 다음과 같이 표현된다.
\[ C_w=\left(\frac{d}{2} \right)^2 I_y \tag{6-11} \] \[ J=\frac{1}{3}\sum b_i t_i^3 \tag{6-12} \]
단순보 양단에 일정한 모멘트 \(M_0\)가 작용하는 경우, 비틀림각은 모드 형상으로 \[ \phi=A\sin\left(\frac{\pi z}{l} \right) \] 와 같이 가정하여 좌굴 조건을 유도할 수 있다.
국부좌굴은 플랜지/웨브 등 단면 판요소가 압축응력 하에서 국부적으로 좌굴하는 현상이며, 폭-두께비에 따라 단면을 조밀/비조밀/세장 단면으로 분류하여 휨강도 산정에 반영한다.
참고: 본 PDF 발췌본(20쪽) 범위에서는 국부좌굴의 세부 판정식(폭-두께비 한계 등)은 이어지는 절에서 다루는 것으로 보이며, 여기서는 개념만 정리한다.
휨부재 설계는 일반적으로 다음 항목을 종합 검토하여 공칭강도 및 설계강도를 결정한다.
참고: 설계식(코드 기반) 및 세부 절차는 본 발췌본 범위를 넘어서는 내용이므로, 전체 본문(장 전체) 또는 기준서(KDS/KBC 등)와 함께 정리하는 것을 권장한다.