제7장 조합력을 받는 부재

7.1 개요

실제 구조물의 부재는 단일 하중만 받는 경우가 드물며, 대부분 여러 종류의 하중이 동시에 작용하는 조합력을 받게 된다. 조합력을 받는 부재는 각각의 하중 효과를 독립적으로 검토하는 것이 아니라, 하중 간의 상호작용을 고려하여 설계해야 한다.

조합력의 주요 유형은 다음과 같다:

• 축력과 휨모멘트의 조합 (기둥-보 부재)

• 전단력과 휨모멘트의 조합

• 비틀림모멘트와 다른 하중의 조합

• 축력, 휨모멘트, 전단력의 복합 조합

7.2.1 축력과 휨모멘트의 조합

인장력과 휨모멘트

인장력과 휨모멘트를 동시에 받는 부재에서는 축인장력이 부재의 안정성을 향상시키는 효과가 있다. 따라서 인장력과 휨모멘트의 조합은 상대적으로 유리한 조건이다.

인장력과 휨모멘트를 받는 부재의 응력:
\[ \sigma = \frac{P}{A} + \frac{M y}{I} \]
여기서,
\( P \): 축인장력
\( M \): 휨모멘트
\( A \): 단면적
\( I \): 단면2차모멘트
\( y \): 중립축으로부터의 거리

압축력과 휨모멘트

압축력과 휨모멘트를 동시에 받는 부재는 P-Δ 효과(2차 효과)로 인해 추가적인 휨모멘트가 발생한다. 축압축력이 증가할수록 부재의 횡변위가 증가하고, 이로 인해 추가 모멘트가 발생하여 부재의 강도가 감소한다.

P-Δ 효과를 고려한 모멘트:
\[ M_{total} = M_0 + P \cdot \Delta \]
여기서,
\( M_0 \): 초기 휨모멘트
\( P \): 축압축력
\( \Delta \): 횡변위

7.2.2 상관식

축력과 휨모멘트를 받는 부재의 설계는 상관식(interaction equation)을 통해 수행된다. 상관식은 축력과 휨모멘트의 조합 효과를 평가하는 식으로, 부재의 안전성을 확인하는 데 사용된다.

KDS 41 31 00 (강구조 설계기준) 상관식:

(1) \( \frac{P_r}{P_c} \geq 0.2 \) 인 경우:
\[ \frac{P_r}{P_c} + \frac{8}{9}\left(\frac{M_{rx}}{M_{cx}} + \frac{M_{ry}}{M_{cy}}\right) \leq 1.0 \]

(2) \( \frac{P_r}{P_c} < 0.2 \) 인 경우:
\[ \frac{P_r}{2P_c} + \left(\frac{M_{rx}}{M_{cx}} + \frac{M_{ry}}{M_{cy}}\right) \leq 1.0 \]

여기서,
\( P_r \): 소요축력강도
\( P_c \): 설계축력강도 (\(\phi_c P_n\))
\( M_{rx}, M_{ry} \): 소요휨강도 (x축, y축)
\( M_{cx}, M_{cy} \): 설계휨강도 (x축, y축)
\( \phi_c \): 압축부재의 강도감소계수 (0.90)

상관식의 첫 번째 형태는 축력이 지배적인 경우에 적용되며, 두 번째 형태는 휨모멘트가 지배적인 경우에 적용된다. 경계값 0.2는 축력의 영향 정도를 구분하는 기준이 된다.

7.2.3 설계 절차

축력과 휨모멘트를 받는 부재의 설계 절차는 다음과 같다:

1. 하중 조합에 따른 소요강도 산정

• 소요축력 \( P_r \) 산정

• 소요휨모멘트 \( M_{rx}, M_{ry} \) 산정

2. 부재의 설계강도 계산

• 설계축력강도 \( P_c = \phi_c P_n \) 계산

• 설계휨강도 \( M_{cx}, M_{cy} \) 계산

3. 상관식 검토

• \( P_r / P_c \)의 비율에 따라 적절한 상관식 선택

• 상관식이 1.0 이하인지 확인

4. 2차 효과(P-Δ 효과) 검토

• 필요시 증폭계수를 사용하여 모멘트 증폭

• 세장비가 큰 부재의 경우 특히 주의

5. 국부좌굴 및 횡비틀림좌굴 검토

• 단면의 폭두께비 확인

• 비지지길이에 따른 횡좌굴 검토

7.3.1 전단력과 휨모멘트의 조합

전단력이 크게 작용하는 영역에서는 복부판의 항복이 발생할 수 있으며, 이는 부재의 휨강도를 감소시킨다. 특히 전단력이 설계전단강도의 60%를 초과하는 경우, 전단력과 휨모멘트의 상호작용을 고려해야 한다.

전단응력과 휨응력의 조합 (von Mises 항복조건):
\[ \sigma_e = \sqrt{\sigma^2 + 3\tau^2} \leq F_y \]
여기서,
\( \sigma_e \): 등가응력
\( \sigma \): 휨에 의한 수직응력
\( \tau \): 전단응력
\( F_y \): 항복응력

7.3.2 설계 기준

전단력과 휨모멘트의 조합 설계:

(1) \( V_r \leq 0.6 V_n \) 인 경우:
전단력의 영향이 작으므로 휨강도 감소를 고려하지 않음
\[ M_r \leq \phi_b M_n \]

(2) \( V_r > 0.6 V_n \) 인 경우:
전단력이 큰 경우 휨강도 감소를 고려
\[ M_r \leq \phi_b M_{n,reduced} \]

여기서,
\( V_r \): 소요전단강도
\( V_n \): 공칭전단강도
\( M_r \): 소요휨강도
\( M_n \): 공칭휨강도
\( M_{n,reduced} \): 전단력을 고려한 감소 휨강도
\( \phi_b \): 휨부재의 강도감소계수 (0.90)

복부판의 두께가 얇은 플레이트거더의 경우, 전단좌굴 후 인장장 작용(tension field action)을 고려하여 설계할 수 있다. 이 경우 복부판에 스티프너를 배치하여 전단강도를 향상시킨다.

7.4.1 비틀림의 종류

순수 비틀림 (Pure Torsion)

순수 비틀림은 부재의 단면이 회전만 하고 뒤틀림(warping)이 구속되지 않는 경우에 발생한다. 원형 단면이나 폐단면에서 주로 나타난다.

순수 비틀림 응력 (Saint-Venant 비틀림):
\[ \tau = \frac{T \cdot r}{J} \]
여기서,
\( T \): 비틀림모멘트
\( r \): 회전중심으로부터의 거리
\( J \): 비틀림상수

뒤틀림 비틀림 (Warping Torsion)

개단면 부재(I형강, H형강 등)에서는 비틀림 시 단면이 뒤틀리며, 이로 인해 수직응력이 발생한다. 뒤틀림이 구속되는 경우 추가적인 응력이 발생한다.

개단면의 비틀림:
\[ T = GJ\frac{d\theta}{dx} + EC_w\frac{d^3\theta}{dx^3} \]
여기서,
\( G \): 전단탄성계수
\( J \): 비틀림상수
\( E \): 탄성계수
\( C_w \): 뒤틀림상수
\( \theta \): 비틀림 각도

7.4.2 설계 방법

비틀림을 받는 부재의 설계는 비틀림모멘트에 의한 응력과 다른 하중에 의한 응력을 조합하여 검토한다.

1. 폐단면 부재

• 비틀림 강성이 크고 뒤틀림이 작음

• 순수 비틀림으로 설계 가능

• 박스형 단면이 비틀림 저항에 유리

2. 개단면 부재

• 비틀림 강성이 작고 뒤틀림이 큼

• 뒤틀림 비틀림을 고려해야 함

• 가능한 편심 하중을 피하고 비틀림 최소화

3. 비틀림과 휨의 조합

• 비틀림에 의한 응력과 휨응력을 조합

• von Mises 항복조건 또는 상관식 적용

비틀림을 포함한 조합응력 검토:

비틀림, 휨, 전단이 조합된 경우 등가응력으로 검토:
\[ \sigma_e = \sqrt{\sigma^2 + 3(\tau_v^2 + \tau_t^2)} \leq F_y \]

여기서,
\( \sigma \): 휨에 의한 수직응력
\( \tau_v \): 전단력에 의한 전단응력
\( \tau_t \): 비틀림에 의한 전단응력
\( F_y \): 항복응력

실무에서는 가능한 비틀림이 발생하지 않도록 구조계획을 수립하는 것이 중요하다. 불가피하게 비틀림이 발생하는 경우, 폐단면을 사용하거나 비틀림 강성을 향상시키는 보강 방법을 적용한다.

7.5 설계 예제

예제 7.1: 축력과 휨모멘트를 받는 부재

문제:
H-300×300×10×15 단면의 기둥이 다음의 하중을 받는다.
• 소요축력: \( P_r = 800 \, \text{kN} \) (압축)
• 소요휨모멘트: \( M_{rx} = 150 \, \text{kN·m} \)
• 강재: SS400 (\( F_y = 235 \, \text{MPa} \))
• 유효좌굴길이: \( L_c = 4.0 \, \text{m} \)

상관식을 이용하여 부재의 안전성을 검토하시오.

풀이:

1) 단면 특성 (H-300×300×10×15)

• 단면적: \( A = 11,900 \, \text{mm}^2 \)

• 단면계수: \( Z_x = 1,350 \times 10^3 \, \text{mm}^3 \)

• 회전반경: \( r_x = 130 \, \text{mm} \)

2) 설계축력강도 계산

• 세장비: \( \lambda = L_c / r_x = 4000 / 130 = 30.8 \)

• 공칭압축강도 \( P_n \) 계산 (기둥 설계식 적용)

• 설계압축강도: \( P_c = \phi_c P_n \) (가정: \( P_c = 2,000 \, \text{kN} \))

3) 설계휨강도 계산

• 공칭휨강도: \( M_n = F_y Z_x = 235 \times 1,350 \times 10^3 = 317 \, \text{kN·m} \)

• 설계휨강도: \( M_{cx} = \phi_b M_n = 0.90 \times 317 = 285 \, \text{kN·m} \)

4) 상관식 검토

• \( P_r / P_c = 800 / 2000 = 0.40 > 0.2 \)

• 상관식 (1) 적용:

\[ \frac{800}{2000} + \frac{8}{9} \times \frac{150}{285} = 0.40 + 0.47 = 0.87 < 1.0 \quad \text{(OK)} \]

결론: 상관식을 만족하므로 부재는 안전하다.